З. Формула полной вероятности. Формула Байеса

 

3.1. Две машинистки напечатали по одинаковому числу страниц. Веро­ятность того, что первая машинистка допустит ошибку равна 0,3; вторая - 0,2. Наудачу выбрана страница. Найти вероятность того, что:

1) на выбранной странице есть ошибка;

2) ошибку допустила первая машинистка.

3.2. В пирамиде установлены девять винтовок, из которых четыре снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,84; для винтовки без прицела эта вероятность 0,75. Найти вероятность того, что:

1) мишень поражена, если стрелок произвел выстрел из наудачу выбранной винтовки;

2) мишень поражена яри выстреле из винтовки с оптическим при­целом.

3.3. Сборщик получает в среднем 50% деталей завода №1, 30% завода №2, 20% завода №3. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0,7; для второго и третьего заводов эти вероятности соот­ветственно равны 0,8 и 0,75. Найти вероятность того что:

1) наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества;

2) выбранная деталь отличного качества изготовлена заводом №3.

3.4. Сборщик получает в среднем 50% деталей завода №1, 35% - завода №2, остальные детали с завода №3 Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества равна 0,8, для деталей второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0,76 и 0,92. Найти вероятность того, что:

1) наудачу взятая деталь отличного качества;

2) и эта деталь изготовлена заводом №2.

3.5. На четырех станках при одинаковых и независимых условиях из­готавливают детали одного наименования. На первом станке изготавли­вают 15%, на втором -24%, на третьем 38%, на четвертом - 23% всех дета­лей. На первом станке вероятность каждой детали быть бездефектной рав­на 0,68; для остальных станков эти вероятности соответственно равны: 0,74; 0,89; 0,92. Найти вероятность того, что:

1) наугад взятая деталь окажется бездефектной;

2) и эта деталь изготовлена на четвертом станке.

3.6. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, восьми типа В, семи типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,6, типа В - 0,24, типа С - 0,45. Найти вероятность поражения мишени при одном выстре­ле, если неизвестно, в мишень какого типа он будет сделан. Какова веро­ятность того, что выстрел был сделан в мишень типа С?

3.7. Два автомата производят одинаковые детали на общий конвейер. Производительность первого автомата втрое больше второго. Кроме того, первый производит 72% деталей отличного качества, второй - 82%. Найти вероятность того, что:

1) взятая наудачу деталь отличного качества;

2) и эта деталь изготовлена вторым автоматом.

3.8. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,21% бракованных, со второго -0,13%, с третьего 0,19%, с четвертого 0,1%. Произ­водительности их относятся, как 5:1:3:1 соответственно. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь:

1) стандартна;

2) и изготовлена на первом автомате,

3.9. На сборку поступило 7 коробок однотипных деталей: три коробки изготовлены заводом №1, в которых детали высшего качества составляют 78%, и четыре коробки изготовлены заводом №2, в которых детали высшего качества составляют 92%. Сборщик взял наугад одну из коробок и вынул из нее деталь. Найти вероятность того, что:

1) выбранная деталь высшего качества;

2) деталь выбрана из коробки, поступившей с завода №2.

3.10. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 83% отличного качества, со второго и третьего автоматов аналогичных деталей отличного качества 92% и 89%. Производительности этих автоматов отно­сятся как 3:2:5 соответственно. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь:

1) отличного качества;

2) и изготовлена на первом автомате.

3.11. Для сигнализации о том, что режим работы автоматического уст­ройства отклоняется от нормы, используется индикатор, который с вероят­ностями 0,3; 0,1; 0,6 принадлежит одному из трех типов. Вероятности срабатывания индикатора при нарушении нормальной работы устройства соот­ветственно равны 0,98; 0,92; 0,95. Найти вероятности того, что:

1) от индикатора получен сигнал;

2) и этот сигнал получен от индикатора второго типа,

3.12. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфо­карт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку равна 0,1; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,2. При сверке перфокарт обнаружена ошибка. Найти ее вероятность и вероятность того, что ошибку допустила первая перфораторщица.

3.13. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной па­мяти, в остальных устройствах, относятся как 2:4:5. Вероятности обнару­жения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и осталь­ных устройствах соответственно равны 0,75; 0,8; 0,9. Найти вероятность то­го, что:

1) сбой, возникший в машине, обнаружен;

2) сбой возник в оперативной памяти.

3.14. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков с вероятностями равными 0,2; 0,3; 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором станке 0,03 и на третьем станке - 0,05. Найти вероятность того, что:

1) поступившее в цех изделие после обработки удовлетворяет техническим условиям;

2) изделие обрабатывалось на втором станке.

3.15. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в сред­нем 10 нестандартных, на втором -15, а на третьем - 20. Продукция этих за­водов составляет соответственно 50, 30 и 20% всех электроламп, при­обретаемых жителями района. Найти вероятность того, что:

1) приобретенная электролампочка стандартна;

2) и изготовлена вторым заводом.

3.16. На сборку поступили 100 однотипных деталей: 40 деталей изго­товлены на первом станке, из них 65% деталей первого сорта; 25 деталей изготовлены на втором станке, из них 57% деталей первого сорта; 35 дета­лей изготовлены на третьем станке, из них 72% деталей первого сорта. Сборщик взял наудачу деталь. Найти вероятность того, что:

1) взятая деталь первого сорта;

2) и изготовлена на втором станке,

3.17. Среди поступающих в областной суд дел из Кировского района 15% уголовных, из Советского - 10%, из Трусовского-8%. Количества поступающих в суд дел из Советского, Кировского, Трусовского районных судов относятся как 2:5:3. Найти вероятность того, что взятое наугад дело:

1) не уголовное;

2) и поступило из Трусовского районного суда.

3.18. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 85% отличного качества, для второго и третьего автоматов деталей отлич­ного качества соответственно поступает 94% и 79%. Производительности этих автоматов относятся как 4: 5: 3. Найти вероятность того, что:

1) взятая наугад деталь отличного качества;

2) и изготовлена вторым автоматом.

3.19. В областной суд в среднем поступает 50% дел из Ленинского су­да, 28% - из Трусовского, остальные из Кировского суда. Вероятность того, что дело Ленинского суда не будет возвращено 0,75; для Трусовского и Киров­ского эти вероятности соответственно равны 0,84 и 0,92. Какова вероят­ность того, что:

1) наугад взятое дело будет возвращено;

2) и оно поступило из Кировского суда.

3.20. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной па­мяти, в остальных устройствах, относятся как 3: 2: 4. Вероятности обнару­жения сбоя в указанных устройствах соответственно равны 0.75; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что:

1) сбой, возникший в машине, обнаружен;

2) и возник в арифметическом устройстве.