Сложение и умножение вещественных чисел.

ГЛАВА 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Вещественные числа

Множества. В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные или уже известные. Основным первичным понятием математики, ее фундаментом является понятие множество. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор», «объединение» и т. п. являются синонимами слова «множество». Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, которые объединены в одну группу по некоторым признакам. Примерами множеств служат: множество учащихся в аудитории; совокупность тех из них, кто получает по математике только отличные оценки; семейство звезд Большой Медведицы; множество страниц книги; множество всех целых положительных чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число объектов произвольной природы. Первичными понятиями являются также точка, прямая и плоскость. Для всех остальных понятий будут даны определения.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы – малыми буквами. Если x – элемент множества X, то пишут (x принадлежит X). Если x не является элементом множества X, то пишут (x не принадлежит X). Если – некоторые элементы, то запись означает, что множество X состоит из элементов . Аналогичный смысл имеет запись . Например, множествовсех целых положительных чисел называется множеством натуральных чисел и обозначается

Пусть X и Y – два множества. Если X и Y состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, а пишут .

Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множества А являются элементами множества В. Обозначается: .

.

Пустое множество содержится в любом множестве, т.е. Ø А. Из определения также следует, что .

Имеют место операции над множествами. Пусть А и В два множества.

Объединением (суммой) множеств А и В называется такое множество S, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному множеству А или В. Обозначение: .

.

Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется такое множество P, которое состоит из элементов множества А и элементов множества В.

.

Разностью двух множеств А и В называется множество D, которое состоит из элементов множества А, но не принадлежащих множеству В.

Если , то множество называется дополнением множества В до множества А.

 

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным. Упорядоченное множество в отличие от просто множества записывают внутри круглых скобок. Например, из одного и того же множества можно получить два упорядоченных множества: и .

Вещественные числа и их основные свойства. Понятие вещественного (действительного) числа принадлежит к основным математическим понятиям. Существуют различные подходы к определению вещественного числа (метод сечений, определение вещественного числа как бесконечной десятичной дроби и др.), однако наиболее логичным и простым является аксиоматический метод введения вещественного числа. Заметим, что все методы введения вещественного числа эквивалентны, так как ни в одном из них не устанавливается факт существования вещественного числа. Поэтому во всех случаях необходимо вводить аксиому существования вещественного числа. Поскольку же использование аксиом неизбежно, проще всего их сразу сформулировать.

Множество вещественных чисел, которое обозначают , представляет собой объединение двух множеств – рациональных чисел и иррациональных чисел. Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Всякое рациональное число является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 3 / 4 и 1 / 3 представляются соответственно следующими десятичными дробями: 0,75 и 0,333...; иррациональные числа и π представляются соответственно непериодическими бесконечными десятичными дробями: 1,41421356... и 3,14159....

Приведем основные свойства вещественных чисел, которые примем за аксиомы.

Сложение и умножение вещественных чисел.

Для любой пары a и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа и , называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами. Каковы бы ни были числа a, b и c:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. (переместительное свойство).

4. (сочетательное свойство).

5. (распределительное свойство).

6. Существует единственное число 0 такое, что для любого числа a.

7. Для любого числа a существует такое число , что .

8. Существует единственное число такое, что для любого числа а имеет место равенство .

9. Для любого числа существует такое число , что ; число обозначается также символом .

Замечание. Числа и , в свойствах 7 и 9, единственны. В самом деле, если бы существовало, например, еще одно число , удовлетворяющее условию , то , откуда , и . Получено противоречие.