Предел последовательности

Одним из важнейших в математическом анализе понятий является понятие предела числовой последовательности.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа существует номер такой, что при выполняется неравенство , т.е.

.

Такая последовательность называется сходящейся.

Если последовательность сходится и имеет своим пределом число , то символически это записывается так:

или при .

Эта запись читается так: «предел при , стремящимся к бесконечности, равен ».

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Из определения предела следует, что, каким бы малым мы ни взяли число , начиная с некоторого номера все элементы последовательности будут отличаться от числа меньше чем на , т. е. при . Это и означает, что элементы последовательности неограниченно приближаются к числу при неограниченном возрастании номера . В определении не случайно отмечено слово «любого», на этом слове «держится» все определение. Геометрически это означает, что начиная с некоторого члена последовательности все её члены с большими номерами будут располагаться в -окрестности точки .

Примеры.

1. Используя определение предела, доказать, что

Решение. Здесь . Запишем неравенство из определения: . Оно будет выполняться при n >[ ]. Таким образом, N (ε;)= [ ] и число является пределом последовательности.

Замечание. Функцией y= [ x ] называется целая часть числа x, т.е. наибольшее

 

целое число n, удовлетворяющее неравенству n ≤ х. Например, [1,8]=1,[-5,3]=-6.

2. Показать, что эта последовательность расходится.

Решение. От противного. Пусть a, что при n > N (ε): | х_n – a | < ε;. Возьмем число ε = . Если n - четное х_n =1, | 1 – a | < ε;= , откуда

< х < . (*)

Если n - нечетное , откуда

- < a <- . (**)

Отсюда ясно, что не существует такого х₀, чтобы неравенства (*) и (**) выполнялись одновременно при произвольном ε. Таким образом, последовательность {(-1)ⁿ } - расходится.

 

3. Используя определение предела, доказать, что если , то

.

Решение. Возьмем любое число и . Так как , то для нахождения значений , удовлетворяющих неравенству , достаточно решить неравенство или, чтобы не иметь дела с отрицательными логарифмами , . После логарифмирования получим

,откуда .

Следовательно, если взять , то для всех будет выполняться неравенство . Так как – любое, то, согласно определению, . Если , то соотношение очевидно, так как неравенство выполняется при любом .

Определение. Последовательность, имеющая своим пределом число ноль, т.е.

называется бесконечно малой последовательностью.

Например, последовательности () являются бесконечно малыми.

Неограниченная последовательность не имеет конечного предела, но она может иметь бесконечный предел, что записывается следующим образом:

Причем, если начиная с некоторого номера члены последовательности положительны (отрицательны), то пишут

 

 

Такие последовательности называются бесконечно большими. Поэтому говорят, что бесконечно большая последовательность имеет бесконечный предел, соответственно равный , или . В связи с введением понятия «бесконечный предел» условимся называть первоначально определенный предел конечным пределом.