Непрерывность вещественных чисел

15. Пусть X и Y – два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и выполняется неравенство , то существует хотя бы одно число c, такое, что для любых чисел x и y выполняются неравенства

.

Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел. Действительно, пусть множество X состоит из рациональных чисел x, для которых выполняется неравенство , а множество Y состоит из рациональных чисел y, для которых выполняется неравенство . Тогда, очевидно, для любого числа и любого числа выполняется неравенство . Однако, не существует рационального числа c такого, чтобы выполнялись неравенства . В самом деле, таким числом могло бы быть только , которое, но оно не является рациональным.

Теперь окончательно будем считать, что вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами . Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства аксиомами вещественных чисел.

В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множествами вещественных чисел. Всюду, где это не может привести к неточности, для краткости вещественные числа будем называть просто числами.

Если – произвольные числа, то запись означает, что число x максимальное (минимальное) из чисел .

Приведем наиболее употребляемые числовые множества. Пусть и – два числа, причем . Будем использовать следующие обозначения:

- отрезок;

- интервал;

; - полуинтервалы;

; - лучи;

; - лучи.

R = - множество вещественных чисел