Числовые последовательности

Числовые последовательности встречаются уже в программе средней школы. Примерами таких последовательностей служат:

• последовательность членов арифметической и геометрической прогрессий;

• последовательность периметров правильных -угольников, вписанных в данную окружность;

• последовательность приближенных значений .

Определение. Если каждому числу из множества натуральных чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа будем называть элементами (членами) последовательности, а символ – общим элементом (членом} последовательности, а число – его номером. Множество значений последовательности будем обозначать символом . Так, например, символ обозначает множество значений

Формула, задающая , называется формулой общего члена последовательности . Например, последовательность задана формулой . С помощью этой формулы можно вычислить любой элемент последовательности: , , и т. д.

Примеры.

1. Дана формула общего элемента последовательности: . Написать пять первых элементов последовательности.

Решение. Положив последовательно в общем элементе , получаем , , , , .

2. Зная несколько первых элементов последовательности ; ; …, написать формулу общего члена последовательности.

Решение. Знаменатели заданных элементов последовательности образуют последовательность всех нечетных натуральных чисел в степени 2. Поэтому в качестве искомой можно выбрать формулу .

Формула, задающая , не является единственной. Так, например, последовательность –1, 1, –1,1, –1,1,... может быть задана формулой или формулой . Однако, не всегда последовательность можно задать аналитически, как например последовательность приближенных значений . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, если , то последовательность запишется в виде 0, 2, 0, 2,....

Часто используют рекуррентный способ задания последовательности , когда последующий член последовательности вычисляется через предыдущий, например, . Вычисляя по этой формуле, получим

Таким образом, данное рекуррентное соотношение определяет последовательность , в которой общий элемент задается формулой . Число n! называется факториалом и читается как n-факториал.

Геометрически последовательность изображается на числовой прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности. На рисунке изображены соответственно последовательности и .

Может оказаться, что одна и та же точка числовой прямой соответствует нескольким элементам последовательности, например, для последовательности с общим элементом все элементы с четными номерами попадут в точку с координатой 1, а с нечетными номерами - в точку с координатой -1; для последовательности с общим элементом , т.е. последовательности 5, 5, 5, 5,..., все элементы попадут в одну и ту же точку с координатой 5.

Введем понятие арифметических действий над числовыми последовательностями.

Определение. Пусть даны произвольные последовательности или .

произведением последовательности на число называется последовательность .

суммой данных последовательностей называется последовательность

;

разностью – последовательность

;

произведением – последовательность

частным – последовательность

если все элементы последовательности, на которую делят, отличны от нуля.

Определение. Последовательность , определяемая первым элементом и рекуррентным соотношением , где – постоянное число, называется арифметической прогрессией. Число называется разностью арифметической прогрессии.

Рекуррентное соотношение, определяющее арифметическую прогрессию, словами формулируется так: всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом .

Запишем несколько первых членов арифметической прогрессии: , , и т. д. Каждый раз прибавляем еще одно слагаемое . Например, четные числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью :

2; 4; 6; 8; 10; 12; 14;....

Методом математической индукции легко доказываются формула общего члена арифметической прогрессии

и формулы суммы членов арифметической прогрессии.

; .