Справедливы следующие свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

.

Теорема 3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и , т. е.

.

Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и ,
т. е. .

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и , т.е.

.

Теорема 6. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 7. Если последовательность бесконечно малая, то последовательность = бесконечно большая, и наоборот.

Теоремы, имеют очень большое как теоретическое, так и практическое значение. Но, несмотря на свою простоту, их правильное применение вначале представляет значительную трудность. Особое внимание следует обратить на тот факт, что применение теорем требует существования конечных пределов. Покажем, какие ошибки можно сделать, если не учитывать этот факт.

Рассмотрим последовательность . С одной стороны,

,

с другой стороны,

.

Получено неверное равенство .

Рассмотрим последовательность . С одной стороны,

,

с другой стороны,

.

Получено неверное равенство .

Наконец, рассмотрим последовательность с общим элементом . С одной стороны, , с другой стороны,

.

Опять получено неверное равенство .

Во всех рассмотренных случаях допущена грубая ошибка: неправильно применены теоремы о пределах частного, произведения и разности – последовательности , и не имеют конечных пределов.

Еще раз подчеркнем, что запись не обозначает никакого числа, а является лишь выражением того, что элементы последовательности по абсолютной величине неограниченно возрастают. Поэтому с символом нельзя обращаться как с числами и писать , или , или .

Такого рода неточности часто встречаются при нахождении предела последовательности, заданной в виде отношения или разности двух выражений. Например, теорему о пределе частного непосредственно применить не удается, если числитель или знаменатель не имеют конечных пределов или предел знаменателя равен нулю. В таких случаях следует предварительно преобразовать данную последовательность. Часто бывает полезно разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение или умножить. Этот прием будет неоднократно использован в дальнейшем.

Рассмотрим теперь наиболее типичные примеры.

Примеры.

1. Найти .

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности и сразу применить теорему о пределе частного нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается существование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на . Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем

.

2. Найти .

Решение. В первом слагаемом в выражении, стоящем под знаком предела, применить сразу теорему о пределе частного нельзя. Поэтому, разделив сначала числитель и знаменатель на , а затем, применив теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем

.

Второе слагаемое выражения, стоящего под знаком предела, можно рассматривать как произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой . Второе слагаемое является бесконечно малой последовательностью и предел ее равен нулю. Следовательно, окончательно получаем

.

Более компактно решение примера можно записать следующим образом:

.

Когда вырабатывается определенный навык, подробную запись можно сократить.

3. Найти .

Решение. Имеем

,

так как при последовательность ограниченная (покажите это самостоятельно), после­довательность бесконечно большая (пока­жите это самостоятельно), а последовательность является бесконечно малой.

Следовательно, на основании теоремы, имеем

.

4. Найти .

Решение. Имеем

,

так как при последовательность сходящаяся , последовательность ограниченная (покажите это самостоятельно), последовательность бесконечно малая (покажите это самостоятельно), а по теореме,

,

то данная последовательность, бесконечно большая, и ее предел равен .

5. Найти .

Решение. Здесь, хотя в числителе и стоит сумма, теорему о пределе суммы непосредственно применить нельзя, поскольку число слагаемых не конечно, а зависит от (с увеличением число слагаемых тоже увеличивается). Поэтому проведем преобразование. Так как есть сумма членов арифметической прогрессии с разностью и она равна , то

.

6. Найти .

Решение. Так как — сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем (в числителе , в знаменателе ) и она равна , то

.

7. Найти .

Решение. Имеем

8. Найти

Решение. Так как (покажите это самостоятельно) и (покажите это самостоятельно), то применить непосредственно теорему о пределе разности нельзя. Поэтому сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приведя его к общему знаменателю, и разделив числитель и знаменатель на . Затем, применяя теоремы о пределе частного, произведения и разности, найдем

.

 

В заключение, рассмотрим последовательность, общий член которой имеет вид В математическом анализе доказывается, что эта последовательность возрастает, ограничена () и имеет предел. Этот предел называют числом e. Следовательно, по определению

Отметим, что число e является иррациональным, оно играет важную роль в математике, в частности оно является основанием натурального логарифма, и его приближенное значение есть e =2,7182818…