Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Виды моделей объектов





Рассмотрим основные виды моделей линейных непрерывных стационарных динамических объектов и их взаимосвязь (действием шума e(t) пока пренебрегаем).

1. Дифференциальное уравнение. Наиболее универсальная модель, имеющая форму

(2.1)

где na – порядок модели (na > nb), ai и bj – постоянные коэффициенты (параметры модели), u(j)(t) и y(i)(t) – производные, соответственно, входного и выходного сигналов.

2. Передаточная функция. Данная характеристика определяется как отношение преобразования Лапласа выходного и входного сигналов, что с учетом свойств данного преобразования и вышеприведенной формулы дает

, (2.2)

где L{●} – символ преобразования Лапласа, р – комплексная переменная (оператор Лапласа).

3. Импульсная характеристика (ИХ) w(t). Под ИХ понимается реакция предварительно возмущенного объекта (то есть объекта с нулевыми начальными условиями) на входной сигнал в виде δ-функции.

4. Переходная функция h(t). Это реакция предварительно невозмущенного объекта на входной сигнал в виде единичного скачка. Из теории автоматического управления известны следующие соотношения между этими характеристиками:

L{w(t)}=W(p), w(t)=h(t), L{h(t)}=W(p)/p (2.3)

 

При нулевых начальных условиях связь между выходными и входными сигналами описывается интегралом свертки:

 

, (2.4)

или в операторной форме:

 

Y(p) = W(p)*U(p). (2.5)

5. Частотные характеристики. Частотные характеристики объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи при подстановки вместо оператора Лапласа р комплексного аргумента ;, который является Фурье-преобразованием ИХ.

Модуль комплексного коэффициента передачи │ W(jω) │= A(ω) представляет собой, как известно, амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W(p), а аргумент arg(W(jω))=φ(ω) – фазочастотную характеристику (ФЧХ).

Графическое представление W(jω), на комплексной плоскости при изменении ω; от 0 до ∞, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координатах в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной – диаграммой Найквиста.

В теории управления часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), равная 20 lg │ W(jω) │.

6. Модель для переменных состояния. В 70-е годы Г. Розенброком был создан метод «размытых» частотных характеристик, предназначенный для автоматизированного проектирования систем с несколькими входами и выходами, ориентированный на использовании средств вычислительной техники и названный методом переменных состояния (МПС).

В основе этого метода лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния:

x’ = A x + B u

y = C x,(2.6)

где u – вектор входных воздействий; y – вектор выходных воздействий; x – вектор переменных состояния; A, B, C – матрицы коэффициентов размерности n x n, n x m, r x n соответственно; n – число переменных состояния или максимальная степень производной исходного дифференциального уравнения; m – число входов; r – число выходов.

Математическим аппаратом метода переменных состояния являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления. На языке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному управлению, фильтрации, оцениванию.

Для систем с одним входом и одним выходом уравнения переменных состояния можно сформулировать следующим образом. При выборе n координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и n-1 его производных) принимаем xi, i= 1,2,…, n и данную систему можно описать следующими уравнениями для переменных состояния:

 

х ′(t) = A х(t) + B u(t),

y(t) = C х(t) + D u(t), (2.7)

 

где х(t) = [ x1(t),x2(t),…,xn(t) ]T – вектор-столбец переменных состояния; A, B, C, и D при скалярных u(t) и y(t) – соответственно матрица размера n х n, векторы размера n х 1 и 1 х n и скаляр (при векторных u(t) и y(t) – матрицы соответствующих размеров).

Применение при нулевых начальных условиях, к последним уравнениям преобразования Лапласа позволяет получить следующее выражение для передаточной функции:

 

W(p) = C(pI – A)-1 B + D, (2.8)

 

где I – единичная матрица.

В качестве примера рассмотрим преобразование исходного дифференциального уравнения:

, (2.9)

или в другой форме записи:

y” + 2 y’ + 5 y = 3 u (2.10)

в уравнения переменных состояния. Обозначим переменные состояния:

x (1) = y, x (2) = y’, т.е. x = .

Перепишем уравнение (2.10) следующим образом:

y” = - 2 y’ - 5 y + 3 u, (2.11)

и дополним его уравнением вида:

y’ = 0 y + 1 y’ + 0 u. (2.12)

Тогда уравнение (2.10) можно записать следующим образом

u,

u. (2.13)

Учитывая принятые обозначения для переменных состояния полученные уравнения приобретают вид:

. (2.14)

Обозначим матрицы системы уравнений (2.14):

A= , B= , C= , D= .

Тогда, в конечном итоге уравнения переменных состояния примут следующий вид:

х ′(t) = A х(t) + B u(t),

y(t) = C х(t) + D u(t), (2.15)

 

Отметим, что все приведенные модели являются эквивалентными, то есть, зная любую из них, можно получить все остальные

. Для объектов, функционирование которых по тем или иным причинам представляется для дискретного времени tk = kT (в данном случае T – интервал дискретизации), то есть для дискретных объектов, наиболее общим

видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциально-

го):

yk +a1yk-1 +... +anayk – na = b1uk + b2uk – 1 + b3uk - 2 +... + bnbuk – nb + 1, (2.16)

где yk – i = y [(k – i) T ], uk – j = u [(k – j) T ] .

Связь между сигналами может быть отражена также

• через дискретную свертку:

, (2.17)

где ω – ординаты решетчатой весовой функции объекта, или, с использованием аппарата Z – преобразования:

, где z = e pT (2.18)

• через дискретную передаточную функцию:

, (2.19)

которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z – преобразования:

 

. (2.20)

 

Заметим, что Z – преобразованием решетчатой импульсной переходной характеристики является W(z), то есть Z { ωi } = W (z).

Отметим далее, что на практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени, что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ЭВМ. Поэтому представление непрерывных объектов дискретными моделями является актуальной задачей. Хотя такое представление может быть осуществлено с некоторой степенью приближенности.

Возможны следующие способы перехода от непрерывных моделей к дискретным.

1. С применением Z – преобразования со следующей цепочкой переходов:

W(p) → L- 1{ W(p) } = ω;(t) → ω;(kT) = ωk → W (z) = Z { ωk }. (2.21)

 

2. С заменой разности производных в дифференциальном уравнении, описывающем непрерывный объект:

, и т.д. (2.22)

(данный подход дает приемлемую точность только при малых Т).

3. С заменой (приближенный способ, предложенный А. Тастиным и называемый билинейным преобразованием).

Для дискретных объектов также может быть использовано описание через переменные состояния:

 

Xk = AXk 1 + Buk 1 ,

Yk = CXk + Duk, (2.23)

 

Переходную функцию и частотные характеристики – так же, как и для непрерывных сигналов.

Отметим только, что множитель z 1 = ep T представляет собой оператор задержки.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 487. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Основные структурные физиотерапевтические подразделения Физиотерапевтическое подразделение является одним из структурных подразделений лечебно-профилактического учреждения, которое предназначено для оказания физиотерапевтической помощи...

Почему важны муниципальные выборы? Туристическая фирма оставляет за собой право, в случае причин непреодолимого характера, вносить некоторые изменения в программу тура без уменьшения общего объема и качества услуг, в том числе предоставлять замену отеля на равнозначный...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия