Виды моделей объектов

Рассмотрим основные виды моделей линейных непрерывных стационарных динамических объектов и их взаимосвязь (действием шума e(t) пока пренебрегаем).

1. Дифференциальное уравнение. Наиболее универсальная модель, имеющая форму

(2.1)

где na – порядок модели (na > nb), a_i и b_j – постоянные коэффициенты (параметры модели), u^(j)(t) и y⁽ⁱ⁾(t) – производные, соответственно, входного и выходного сигналов.

2. Передаточная функция. Данная характеристика определяется как отношение преобразования Лапласа выходного и входного сигналов, что с учетом свойств данного преобразования и вышеприведенной формулы дает

, (2.2)

где L{●} – символ преобразования Лапласа, р – комплексная переменная (оператор Лапласа).

3. Импульсная характеристика (ИХ) w(t). Под ИХ понимается реакция предварительно возмущенного объекта (то есть объекта с нулевыми начальными условиями) на входной сигнал в виде δ-функции.

4. Переходная функция h(t). Это реакция предварительно невозмущенного объекта на входной сигнал в виде единичного скачка. Из теории автоматического управления известны следующие соотношения между этими характеристиками:

L{w(t)}=W(p), w(t)=h^’(t), L{h(t)}=W(p)/p (2.3)

 

При нулевых начальных условиях связь между выходными и входными сигналами описывается интегралом свертки:

 

, (2.4)

или в операторной форме:

 

Y(p) = W(p)*U(p). (2.5)

5. Частотные характеристики. Частотные характеристики объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи при подстановки вместо оператора Лапласа р комплексного аргумента jω;, который является Фурье-преобразованием ИХ.

Модуль комплексного коэффициента передачи │ W(jω) │= A(ω) представляет собой, как известно, амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W(p), а аргумент arg(W(jω))=φ(ω) – фазочастотную характеристику (ФЧХ).

Графическое представление W(jω), на комплексной плоскости при изменении ω; от 0 до ∞, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координатах в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной – диаграммой Найквиста.

В теории управления часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), равная 20 lg │ W(jω) │.

6. Модель для переменных состояния. В 70-е годы Г. Розенброком был создан метод «размытых» частотных характеристик, предназначенный для автоматизированного проектирования систем с несколькими входами и выходами, ориентированный на использовании средств вычислительной техники и названный методом переменных состояния (МПС).

В основе этого метода лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния:

x’ = A x + B u

y = C x,(2.6)

где u – вектор входных воздействий; y – вектор выходных воздействий; x – вектор переменных состояния; A, B, C – матрицы коэффициентов размерности n x n, n x m, r x n соответственно; n – число переменных состояния или максимальная степень производной исходного дифференциального уравнения; m – число входов; r – число выходов.

Математическим аппаратом метода переменных состояния являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления. На языке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному управлению, фильтрации, оцениванию.

Для систем с одним входом и одним выходом уравнения переменных состояния можно сформулировать следующим образом. При выборе n координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и n-1 его производных) принимаем x_i, i= 1,2,…, n и данную систему можно описать следующими уравнениями для переменных состояния:

 

х ′(t) = A х(t) + B u(t),

y(t) = C х(t) + D u(t), (2.7)

 

где х(t) = [ x₁(t),x₂(t),…,x_n(t) ]^T – вектор-столбец переменных состояния; A, B, C, и D при скалярных u(t) и y(t) – соответственно матрица размера n х n, векторы размера n х 1 и 1 х n и скаляр (при векторных u(t) и y(t) – матрицы соответствующих размеров).

Применение при нулевых начальных условиях, к последним уравнениям преобразования Лапласа позволяет получить следующее выражение для передаточной функции:

 

W(p) = C(pI – A)^-1 B + D, (2.8)

 

где I – единичная матрица.

В качестве примера рассмотрим преобразование исходного дифференциального уравнения:

, (2.9)

или в другой форме записи:

y” + 2 y’ + 5 y = 3 u (2.10)

в уравнения переменных состояния. Обозначим переменные состояния:

x (1) = y, x (2) = y’, т.е. x = .

Перепишем уравнение (2.10) следующим образом:

y” = - 2 y’ - 5 y + 3 u, (2.11)

и дополним его уравнением вида:

y’ = 0 y + 1 y’ + 0 u. (2.12)

Тогда уравнение (2.10) можно записать следующим образом

u,

u. (2.13)

Учитывая принятые обозначения для переменных состояния полученные уравнения приобретают вид:

. (2.14)

Обозначим матрицы системы уравнений (2.14):

A= , B= , C= , D= .

Тогда, в конечном итоге уравнения переменных состояния примут следующий вид:

х ′(t) = A х(t) + B u(t),

y(t) = C х(t) + D u(t), (2.15)

 

Отметим, что все приведенные модели являются эквивалентными, то есть, зная любую из них, можно получить все остальные

. Для объектов, функционирование которых по тем или иным причинам представляется для дискретного времени t_k = kT (в данном случае T – интервал дискретизации), то есть для дискретных объектов, наиболее общим

видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциально-

го):

y_k +a₁y_k-1 +... +a_nay_{k – na} = b₁u_k + b₂u_{k – 1} + b₃u_{k - 2} +... + b_nbu_{k – nb + 1}, (2.16)

где y_{k – i} = y [(k – i) T ], u_{k – j} = u [(k – j) T ] .

Связь между сигналами может быть отражена также

• через дискретную свертку:

, (2.17)

где ω – ординаты решетчатой весовой функции объекта, или, с использованием аппарата Z – преобразования:

, где z = e ^pT (2.18)

• через дискретную передаточную функцию:

, (2.19)

которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z – преобразования:

 

. (2.20)

 

Заметим, что Z – преобразованием решетчатой импульсной переходной характеристики является W(z), то есть Z { ω_i } = W (z).

Отметим далее, что на практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени, что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ЭВМ. Поэтому представление непрерывных объектов дискретными моделями является актуальной задачей. Хотя такое представление может быть осуществлено с некоторой степенью приближенности.

Возможны следующие способы перехода от непрерывных моделей к дискретным.

1. С применением Z – преобразования со следующей цепочкой переходов:

W(p) → L^{- 1}{ W(p) } = ω;(t) → ω;(kT) = ω_k → W (z) = Z { ω_k }. (2.21)

 

2. С заменой разности производных в дифференциальном уравнении, описывающем непрерывный объект:

, и т.д. (2.22)

(данный подход дает приемлемую точность только при малых Т).

3. С заменой (приближенный способ, предложенный А. Тастиным и называемый билинейным преобразованием).

Для дискретных объектов также может быть использовано описание через переменные состояния:

 

X_k = AX_{k – 1} + Bu_{k – 1} ,

Y_k = CX_k + Du_k, (2.23)

 

Переходную функцию и частотные характеристики – так же, как и для непрерывных сигналов.

Отметим только, что множитель z ^{– 1} = e ^{– p T} представляет собой оператор задержки.