Дискретные преобразования Фурье (ДПФ) и обратные ДПФ.

Комплексная форма:

, где С_n – коэффициенты ряда Фурье. (*)

. (**)

Модулированная импульсная последовательность (МИП):

Математическая модель МИП получается из динамического представления:

Дискретизируя, получим .

Пусть дискретный сигнал состоит из N -отсчетов на отрезке [0,Т], т.е. задан отсчетами x₀ , x₁, …, x_{N -1};

Дальнейший анализ состоит в том, чтобы продолжить периодически на числовой оси с периодом Т дискретизировать. Тогда к такому сигналу можно применить комплексную форму ряда Фурье, только частоту ω₁ заменим на или . Тогда коэффициенты ряда Фурье:

Коэффициенты спектра ДПФ: .

Восстановление МИП (обратное ДПФ): .

Последние 2 выражения – это аналоги преобразований (*) и (**). Недостаток же состоит в том, что надо вычислить много точек N ². Поэтому существует алгоритм «быстрого» преобразования Фурье (БПФ) в Matlab (FFT). Идея: исходная последовательность дискретных отсчетов делится на две подпоследовательности (например четную и нечетную). Каждая из них делится еще на две подпоследовательности, и так до конца, пока не останется пара отсчетов. Для них определяются коэффициенты ряда Фурье, а затем по ним восстанавливаются коэффициенты более высших подпоследовательностей по подмеченным простым закономерностям:

.

.

В итоге, число вычислений = .

 

 

Частотно – временной анадиз (Вейвлет-преобразования)

Wavelet – маленькая волна.

Недостаток преобразований Фурье в том, что при анализе процессов с локальными изменениями он является громоздким. Поэтому был разработан «оконный» метод анализа, который использует другой базис, называемый вейвлетами. При

этом в нужную область процессов «подтягивается» вейвлет (его копии) и из этих вейвлетов и конструируется локальное изменение процессов.

Требования к вейвлету:

1) Он должен осциллировать в окрестности определенной точкой и резко убывать при удалении от неё, а площадь под ним равна нулю.

2) Энергия вейвлета должна быть конечной

Примеры вейвлетов а) вейвлет Добоши

б) вейвлет Морле

в) «Мексиканская шляпа»

в) это вторая производная функции Гаусса

Вейвлет-преобразование это аналог преобразования Фурье, но не прямой аналог. По Фурье ядром преобразования является экспонента

А в вейвлет-преобразованиях ядром является вейвлет, смещенный по оси времени в нужную точку процесса, а также растянутый или сжатый в a раз.

x – размерность времени, с.

a – размерность периода, с.

- частота.

Вейвлет-преобразования бывают:

1-аналоговые;

2-дискретные.

(28)

Коэффициенты (28) показывают, какие характеристики частоты содержатся в сигнале в окрестности точки X, куда подтянули вейвлет.

В (28) содержится и частотная (как в Фурье) и временная информация, поэтому вейвлеты могут быть изображены в пространстве.

 

 

Восстановление сигнала по вейвлет коэффициентам проводится: