ИТЕРАЦИОННЫЕ ЦИКЛЫ

 

Большое место среди циклов с неизвестным числом повторений занимают циклы, когда в процессе повторения тела цикла образуются последовательность значений сходятся к некоторому пределу , т.е.

.

Каждое новое значение в такой последовательности определяется с учетом предыдущего и является по сравнению с ним более точным приближением к некоторому результату (пределу) . Циклы, реализующие такую последовательность приближений (итерации), называют итерационными.

В итерационных циклах условие продолжения цикла основывается на свойстве безграничного приближения значения к пределу, а при увеличении . Итерационный цикл заканчивают, то есть результат отождествляют со значением , считается, что , если для некоторого значения выполняется условие:

,

где – допустимая погрешность вычисления результата.

Типичным примером итерационного цикла может служить задача вычисления суммы бесконечного ряда. Понятие суммы связано с понятием сходимости бесконечного ряда. Бесконечный ряд значений называется сходящимся, если сумма его первых слагаемых при беспредельном возрастании стремится к некоторому пределу , который и называется суммой ряда, т.е.

, .

Общий член сходящегося ряда при этом стремится к нулю, т.е.

, .

Следовательно, последовательность является искомой последовательностью значений и определяет следующие условие окончания суммирования:

или .

Пример 14. Вычислить с погрешностью значение функции , используя разложение косинуса в ряд:

, где .

Аналогично вычислению конечной суммы в данном случае необходимо, во-первых, определить значение очередного слагаемого , во-вторых, осуществлять накопление суммы по итерационной формуле: .

Для определения в данном примере из-за наличия факториала целесообразно использовать не прямое вычисление по общей формуле, а рекурентное соотношение:

Подставим в формулу для вместо величину :

Определим сомножитель :

.

Т.к. , то

.

Начальное значение находится подстановкой в формулу для .

Т.к. надобности в запоминании значений всех слагаемых и промежуточных сумм нет, то в программе использованы простые переменные:

– очередное значение суммы ряда;

– очередное значение члена ряда;

– очередное значение сомножителя .

Алгоритм решения задачи выглядит следующим образом:

 

 

 

PROGRAM PR14;

VAR n: INTEGER;

eps, s, t, f, x, y: REAL;

BEGIN

READ (x, eps);

s:= 0;

t:= 1;

n:= 1;

WHILE ABS(t)>eps DO

BEGIN

s:= s+t;

f:= -SQR(x)/(2*n*(2*n-1));

t:= t*f;

n:= n+1;

END;

y:= COS(x);

WRITELN (’s=’,s,’y=’,y);

END.

Для проверки полученного результата осуществляется вызов стандартной функции COS(x), значение которой присваивается переменной . Для организации цикла по накоплению суммы используется оператор цикла с предусловием, в котором условие является условием продолжения цикла. Нужно отметить, то что, общий член ряда проверять с погрешностью можно только в том случае, если предел стремится к нулю, в противном случае условием окончания цикла должна быть разность предыдущего и последующего значения суммы, сравниваемая с .

Итерационный цикл используется для решения алгебраических и нелинейных уравнений. Нахождение корня уравнения вида осуществляется в два этапа.

На первом этапе – этапе локализации корня – определяется отрезок , в пределах которого находится один и только один корень уравнения. Одним из способов локализации корня (корней) является построение грубого графика функции и определение на этом графике отрезка содержащего только один корень. На втором этапе – этапе уточнения корня - ведется поиск корня с заданной степенью точности при помощи некоторого итерационного алгоритма.

Наиболее простым методом уточнения корня является метод итераций, заключающийся в следующем: исходное уравнение , где непрерывная функция на отрезке , заменяют эквивалентным уравнением вида и, зная начальное приближение корня каждое следующее, находят по формуле: . Вычисления повторяют до тех пор, пока не выполнится условие , где – заданная погрешность вычислений.

Пример 15. Определить корень уравнения c погрешностью , при начальном значении корня .

Преобразуем исходное уравнение следующим образом: , тогда ; .

Для определения удобно использовать следующие графические построения: построить графики функций . Точки пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения . На графике выделить приближенные отрезки локализации каждого корня. В качестве можно взять любую точку отрезка.

Алгоритм уточнения корня по методу итераций:

 

 

 

PROGRAM PR15;

VAR eps, x, x0: REAL;

BEGIN

READ (eps,x0);

WRITELN (’исходные данные’);

WRITELN (’ eps=’,eps, ’x0=’, x0);

x:=x0;

WHILE ABS(x-SIN(x)/COS(x))>eps DO BEGIN

x:= SIN(x)/COS(x);

WRITELN (’ x=’,x);

END;

END.

Пример 16. Вычислить интеграл по формуле прямоугольников: , где – шаг интегрирования;

– начальное значение интервала интегрирования;

– конечное значение интервала интегрирования;

– текущее значение ;

– подынтегральная функция.

 

 

 

PROGRAM PR16;

VAR a, b, e: REAL;

h, y, y0, fa, fb: REAL;

n, i: INTEGER;

BEGIN

WRITELN (’ введите a,b,n,e);

READ (a, b, n, e);

y:= 0;

REPEAT

y0:= y;

n:= n*2;

fa:= a*a*a/(SQR(SQR(a))+1);

fb:= b*b*b/(SQR(SQR(b))+1);

y:= (fa+fb)/2;

h:= (b-a)/n;

FOR i:=1 TO n-1 DO BEGIN

x:= a+i*h;

y:= y+x*x*x/(SQR(SQR(x))+1);

END;

y:= y*h;

UNTIL ABS (y-y0)<=e;

WRITELN (y);

END.