Метод В.К.Иванова нахождения псевдоре­шений.

Комментарий. Нахождение псевдорешений обычно сложная задача, эквивалентная задаче выпуклого программирования (отыскание экстре­мумов многомерных, многопараметрических функций при некоторых ограничениях).

Определение. Псевдорешением (квазиреше­нием) задачи , где , а и - банаховы пространства, называется любое решение , минимизирующее невязку на компакте , где Таким образом, . Тогда , где .

Ясно, что если проекция одна, то решение единственное. Если проекция не одна, то под псевдорешением понимается любой элемент из множества псевдорешений.

Теорема 3. Проекция на множество будет единственной, если множество выпук­лое. (Например, любое гильбертово пространство).

. Пусть имеется две проекции , то есть . По определению вы­пуклого множества

. Пусть , , тогда можно запи­сать равенство параллелограмма:

. Так как , то есть , то

.

Теорема 4. Пусть однородное уравнение имеет только нулевое решение, множе­ство выпукло, а всякая сфера в пространстве строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения на компакте единственно и непре­рывно зависит от правой части и.

Пусть квазирешение и . Так как множество выпукло, то в силу линейности опе­ратора множество также выпукло. Оче­видно, что есть проекция элемента на множество . В силу того, что сфера в простран­стве по условию теоремы строго вы­пукла, проекция определяется однозначно. Да­лее доказательство завершается, как в теореме 3.

Рассмотрим применение проекционных мето­дов для алгебраизированной задачи, то есть для СЛАУ.