Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие нормальной СЛАУ. Обоснование метода невязки




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Пусть рассматривается система уравнений , тогда - невязка.

 

Комментарий. 1. Нелинейный оператор непрерывен в точке , если ; вполне непреры­вен, если он непрерывен и ограни­ченные множества отображает в предкомпакт­ные. В отличие от линейного случая непрерывность в точке не гарантирует непрерывности во всём простран­стве и не связана с ограниченностью.

Нелинейный оператор дифференцируем по Фреше в точке , если существует линейный огра­ниченный оператор (производная Фреше в точке или сильная производная), такой, что причём . Линейная часть приращения дифферен­циал Фреше.

Производная Фреше нелинейного опера­тора - это оператор , действую­щий как функция от х. В частном случае нелинейного функционала совокупность всех таких функ­ционалов, определённых на X, образует сопря­жённое пространство E*, поэтому производная Фреше функционала это вектор из E*: . Его назы­вают градиентом Фреше: .

Дифференциал Гато (слабый дифференциал) это предел по норме . Если этот предел линеен по , то есть , то оператор называется произ­водной Гато в точке .

Производная Фреше в точке совпадает с произ­водной Гато в точке . Производная Гато в точке сов­падает с производной Фреше в точке , если произ­водная Гато непрерывна по в этой точке.

2. Дифференцируемость всегда сводится к воз­можности линейной аппроксимации . В одномерном случае обычная производная, в случае перемен­ных градиент, а - скалярное произведение, для оператора матрица Якоби , а есть умножение мат­рицы на вектор. Скалярное произведение можно пред­ставить как функционал (функцию переменных в ко­нечномерном случае) и тогда дифференциал от неё тоже скалярное произведение. Напри­мер, в случае двумерного пространства . Тогда полный диффе­ренциал . После не­сложных преобразований получим . Дифференциал Фреше можно найти и сразу, как дифференциал от скалярного произведения: .

Введем понятие нормальной системы. Пусть . Тогда, приравнивая дифференциал Фреше к нулю, получим

. Тогда исходная система равносильна системе уравнений .







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 574. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия