Понятие нормальной СЛАУ. Обоснование метода невязки

Пусть рассматривается система уравнений , тогда - невязка.

Комментарий. 1. Нелинейный оператор непрерывен в точке , если ; вполне непреры­вен, если он непрерывен и ограни­ченные множества отображает в предкомпакт­ные. В отличие от линейного случая непрерывность в точке не гарантирует непрерывности во всём простран­стве и не связана с ограниченностью.

Нелинейный оператор дифференцируем по Фреше в точке , если существует линейный огра­ниченный оператор (производная Фреше в точке или сильная производная), такой, что причём . Линейная часть приращения дифферен­циал Фреше.

Производная Фреше нелинейного опера­тора - это оператор , действую­щий как функция от х. В частном случае нелинейного функционала совокупность всех таких функ­ционалов, определённых на X, образует сопря­жённое пространство E*, поэтому производная Фреше функционала это вектор из E*: . Его назы­вают градиентом Фреше: .

Дифференциал Гато (слабый дифференциал) это предел по норме . Если этот предел линеен по , то есть , то оператор называется произ­водной Гато в точке .

Производная Фреше в точке совпадает с произ­водной Гато в точке . Производная Гато в точке сов­падает с производной Фреше в точке , если произ­водная Гато непрерывна по в этой точке.

2. Дифференцируемость всегда сводится к воз­можности линейной аппроксимации . В одномерном случае обычная производная, в случае перемен­ных градиент, а - скалярное произведение, для оператора матрица Якоби , а есть умножение мат­рицы на вектор. Скалярное произведение можно пред­ставить как функционал (функцию переменных в ко­нечномерном случае) и тогда дифференциал от неё тоже скалярное произведение. Напри­мер, в случае двумерного пространства . Тогда полный диффе­ренциал . После не­сложных преобразований получим . Дифференциал Фреше можно найти и сразу, как дифференциал от скалярного произведения: .

Введем понятие нормальной системы. Пусть . Тогда, приравнивая дифференциал Фреше к нулю, получим

. Тогда исходная система равносильна системе уравнений .