Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проблема Бецалеля. Постановка задачи




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

VII. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. ПСЕВДО­РЕШЕНИЕ

- Г-голубчики, сказал Федор Симеонович озадаченно... Это же проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения.
- Мы сами знаем, что она не имеет решения, сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.
- К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо... К-как же искать решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то...
- Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица - искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос...
А. Стругацкий , Б. Стругацкий.
Понедельник начинается в субботу

Проблема Бецалеля. Постановка задачи

Пусть банахово пространство, а конечномерное подпространство, не совпадаю­щее с .При использовании проекционных мето­дов исходная постановка задачи, как правило, является компромиссом между, быть может, про­тиворечивыми требованиями. Такие задачи или принципиально не имеют решения, или решение не единственно. И то и другое может сопровож­даться операторной неустойчивостью.

Определение. Задачей Чебышева называют любую задачу о наилучшем приближении эле­мента банахова пространства к конечно­мерному подпространству . Она ставится так: , надо указать элемент , такой, что .

Комментарий. Ясно, что элемент будет при­ближать любой элемент лучше, чем другие элементы из . Не ясно, существует ли такой элемент и единст­венен ли он.

Теорема 1 (существование наилучшего приближения). Наилучшее приближение эле­мента банахова пространства к конечномер­ному подпространству сущест­вует.

Пусть банахово пространство, а конечномерное подпространство, не сов­падающее с . Укажем эле­мент , такой, что . Для этого введём в некоторый базис . Тогда . Соот­ветствующая эвклидова норма в эвклидовом базисе имеет вид . В конеч­номерных пространствах все нормы эквива­лентны, то есть . Рассмот­рим функцию , . Она непрерывна, так как , то есть если , то и . Рассмотрим теперь шар , где . Вне шара . Так как , и так как , а , то и неравенство только уси­лится, если заменить на меньшее выраже­ние . Тогда . Та­ким образом, инфинум недостижим вне этого шара. Это означает, что внутри шара, то есть замкнутого ограниченного множества в ко­нечномерном пространстве, то есть компакта, функция достигает инфинума (теорема Вейерштрасса).

 

Комментарий. Таким образом, наилучшее при­ближение элемента х пространства к подпростран­ству L существует. Покажем, что оно не единственно. Пусть пространство Х есть плоскость , а . Введём на Х норму . Пусть .

 

 

 

Тогда .

 

 

Из графика этой функции видно, что при решение не единственно.

 

Определение.Множество называется выпуклым, если из того, что , следует, что принадлежит и весь отрезок, соединяю­щий точки , то есть совокупность всех то­чек х вида .

Определение. Банахово пространство на­зывается строго выпуклым, если для любого действи­тельного скаляра и любых .

 

Комментарий. Пространства при строго выпуклы, а при нет. Простран­ство не строго выпукло. Показано, что в нём проекция единственна только на подмножестве поли­номов степени не выше .

 

Теорема 2 (единственность наилучшего приближения).

Пусть строго выпуклое банахово простран­ство, а конечномерное подпространство, не совпадающее с Х, причём . Тогда , такой, что .

Существование доказано в теореме 1. Осталось показатьединственность.

. Пусть два наилучших приближе­ния какого-то х. То­гда .

Так как строго выпуклое банахово простран­ство, то , так как при . Тогда , так как это линейная комбинация элементов из . Но по усло­вию . Это противоречие и доказывает тео­рему.

 

Комментарий. 1. Как найти наилучшее прибли­жение? В банаховых пространствах общего способа не существует. В гильбертовых пространствах такой об­щий способ даёт задача ортогонализации, приводящая к понятию ряда Фурье. Пусть – подпространство гильбертова пространства, а подпространство, ортогональное к . Тогда гильбертово пространство . Так как – сепарабельное простран­ство, то в нем всегда есть ортонормированная система векторов: , где символ Кроне­кера. Проекция вектора на вектор , где . Мы будем искать те значе­ния коэффициентов разложения , при которых не­вязка (квадрат невязки) будет мини­мальна:

.

Ясно, что это выражение будет принимать минималь­ное значение при и . Тогда . Отсюда получаем неравенство Бес­селя . При ортонормированная сис­тема векторов (ОНС) называется полной ортонор­мированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). От­сюда можно получить равенство Стек­лова –Парсеваля теорему Пифагора для гильбертовых пространств.

2. Пусть , где компактный оператор. Если , где ком­пакт, то в соответствии с теоремой Тихонова такая задача условно устойчива. Рассмотрим случай, когда .

Задача Чебышёва в применении к решению опера­торных уравнений I рода приводит к понятию псевдорешения (квазирешения) и методу В.К.Иванованахождения псевдорешений.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 528. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.023 сек.) русская версия | украинская версия