Аномальная и нормальная дисперсия света. Связь дисперсии и поглощения

Задача

Связать угол наименьшего отклонения луча в призме с преломляющим углом и показателем преломления призмы.

Дано:

Найти:

Решение:

Обозначим за угол отклонения луча. Пусть - угол падения. Тогда

Угол падения на внутреннюю поверхность

Закон преломления для внутренней поверхности

(1)

откуда также можем получить

(2)

Угол преломления

(3)

Ввиду очевидной симметрии уравнений (1)-(2) относительно перестановки, легко заключить что минимум суммы, стоящей в скобках уравнения (3) выполняется при выполнении условия:

Подставим в уравнение (1):

Подставим в уравнение (3), чтобы получить выражение для угла наименьшего преломления:

 

Аномальная и нормальная дисперсия света. Связь дисперсии и поглощения

Макроскопическая теория Максвелла не может объяснить дисперсию света. Из теории Максвелла следует, что , при μ = 1.

Для воды ε = 81, следовательно, , а в действительности n _в =1,33. Такое противоречие между теорией Максвелла и экспериментом возникает вследствие того, что мы правильно применяем формулу ε₀ = 81, которая справедлива только в статическом поле (ω = 0). Молекулы воды постоянно ориентируются в переменном электрическом поле. Электрическое поле световой волны изменяется по гармоническому закону.

ε(ω) < ε(0), поэтому n(ω) < n(0). Т.е. для каждой частоты будет свой показатель преломления. Поэтому нужно учитывать зависимость n от частоты.

Явление дисперсии можно объяснить, рассматривая взаимодействие световой волны с веществом. Такое стало возможным благодаря классической электронной теории Лоренца.

Согласно классической электронной теории электроны в атоме совершают колебания под действием квазиупругой силы. Световая волн, падающая на диэлектрик, заставляет электроны, находящиеся в атоме этого диэлектрика, совершать вынужденные колебания, частота которых совпадает с частотой вынуждающей силы. Но электроны, движущиеся ускоренно излучают электромагнитные волны. Эти вторичны волны, излучаемые электронами атомов вещества, имеют ту же частоту, что и падающая волна. Начальные фазы могут различаться. Эти вторичные волны интерферируют с падающей волной, и в веществе распространяется результирующая волна, направление которой совпадает с направлением падающей волны, скорость которой зависит от частоты (а в вакууме равна скорости света). Следовательно, показатель преломления n зависит от частоты ω;.

где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества, Р – вектор поляризации (результирующий дипольный момент единицы объёма).

Согласно теории Максвелла

при μ = 1.

В условиях, когда на вещество падает световая волна, электрическое поле изменяется столь быстро, что поляризуемость (нас будет интересовать только электронная, т.е. индуцированная полем световой волны) не успевает изменяться за полем. В этом случае

где n₀ – количество атомов в единице объёма, Р_Е – индуцированный дипольный момент одного атома. Можно показать, что наиболее сильному воздействию электрического поля световой волны подвергаются наиболее слабо связанные с ядром электроны, так называемые оптические электроны. Для простоты считаем, что каждый атом содержит один оптический электрон. Тогда

х - смещение.

т.е. n зависит от смещения электронов в атоме, под действием поля световой волны. На электрон, находящийся в атоме действует также силы:

квазиупругая – из-за наличия связи электрона с ядром:

сила сопротивления

Вынуждающая сила со стороны световой волны

Под действием этих сил электрон начинает совершать вынужденные колебания

 

Для простоты рассмотрения будем пренебрегать затуханием колебаний. В этом случае

Из последней формулы видно, что n зависит от частоты падающего света, так же как и ε. Если ω₀ > ω, то n существует, если ω₀ = ω, то n терпит разрыв 2-го рода. В том случае, если атом содержит несколько валентных электронов:

 

Если учесть затухание (β ≠ 0), то мы получаем формулу, которая даёт хорошее соответствие с экспериментальной кривой)