Алгебра событий

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Тогда ему благоприятствует любое событие , достоверное событие будем обозначать .

Невозможным событием будем называть событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Невозможное событие будем обозначать символом .

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовем событие А+В (или А В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А или В. Сумме событий соответствует объединение множеств А и В.

Свойства суммы событий:

1) А+ =А;

2) А+ = ;

3) А+А=А;

4) А+В=В+А.

Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовем событие АВ (или А В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств А и В.

Свойства произведения событий:

1) А ;

2) А =А;

3) АА=А;

4) АВ=ВА.

Два события назовем несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно. Если А и В несовместны, то АВ= . Элементарные события попарно несовместны , при .

Событие назовем противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидно, что выполняются следующие равенства

, , .

Разностью событий А и В назовем событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Отметим очевидные соотношения: ,

.

Введенные операции сложения и умножения обладают свойствами:

1) А(В+С)=АВ+АС;

2) А(ВС)=(АВ)С.

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому эксперименту и пусть - некоторая система случайных событий.

Систему событий назовем алгеброй событий, если выполняются следующие условия:

1) ;

2) если , то ;

3) если , , то , .