Трубки тока переменного сечения

 

Пренебрегая силами тяжести, для установившегося движения однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси расход записываем формулой

(6.1)

Разделяя переменные в (6.1) и интегрируя в соответствующих пределах, получаем

(6.2)

Здесь объемный расход Q во всех сечениях трубки тока одинаковый, т. к. жидкость считается несжимаемой и движение – установившееся. Вводя фильтрационное сопротивление

(6.3)

формулу (6.2) запишем в виде

(6.4)

В силу неразрывности потока выражение для расхода через сечение w (s) может быть представлено следующим образом:

По правилу производных пропорций имеем

(6.5)

где

(6.6)

Определим время движения границы раздела. Пусть за время dt граница раздела прошла путь ds. Тогда справедливо

Интегрируя данное уравнение с учетом (6.5), получаем

(6.7)

Когда точное интегрирование уравнения (6.7) невозможно, то применяют методы численного интегрирования. В следующих параграфах рассмотрены некоторые частные случаи.

 

6.3. Прямолинейное движение границы раздела с постоянными толщиной, пористостью и проницаемостью пласта

Рассмотрим прямолинейное движение контура нефтеносности (КН) к прямолинейной батарее скважин в полосообразном пласте (рис. 6.2). Принимаем: Р _к= cоnst – давление на контуре питания (КП); Р _с= cоnst – давление на одной из близких изобар к батарее скважин; w (s)= cоnst.

Рис. 6.2. Схема рямолинейного движения границы раздела двух жидкостей

 

Для определения времени продвижения контура нефтеносности воспользуемся формулой (6.2). При t ₀=0 имеем:

После интегрирования получаем

или

. (6.8)

Для одножидкостной системы (m _н =m _в =m) из (6.8) следует

(6.9)

Формула (6.9) получается также элементарным путем. Если за время t пройден путь S – S ₀, а истинная скорость движения u = const и равна

то

(6.10)

При s=l (рис. 6.2) получим время вытеснения нефти водой.

 

6.4. Плоскорадиальное движение границы раздела с постоянными толщиной, пористостью и проницаемостью пласта

Рассмотрим плоскорадиальное движение кругового контура нефтеносности к совершенной скважине при установившемся процессе фильтрации по линейному закону Дарси (рис. 6.3). Контур питания представляет собой окружность радиуса R _к, где давление Р _к= const. На контуре скважины радиуса r _с поддерживается давление Р _с= const. По условию: h = const, т = const, K = const.

В данном случае площадь фильтрации w (s)=2p rh является переменной величиной. Так как S=R _к– r (см. рис. 6.3), то ds= – dr. С учетом изложенного по формуле (6.6) имеем

(6.11)

Подставляя значение (6.11) в (6.7), интегрируя в пределах от начального положения радиуса контура нефтеносности r ₁ до его конечного положения r ₂, при t =0 получим

После интегрирования и некоторых преобразований получаем

(6.12)

Время прорыва воды в скважину определится из (6.12) при r ₂= r _с.

 

Рис. 6.3. Схема плоскорадиального движения