Проницаемостей при вытеснении нефти водой и газом

s - насыщенность вытесняющей фазы; (s) - для вытесняющей жидкости; (s) - для вытесняемой жидкости; пунктир относится к случаю, когда вытесняющей фазой является газ

 

Уравнение (6.2.9) квазилиненйное дифференциальное первого порядка в частных производных, решаемое обычно методом характеристик [3]. Выпишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению (6.29)

(6.31)

Первые интегралы данной системы записываются в виде:

, (6.32)

Отсюда следует, что при t =0 расстояние х=х (,0)= С ₂ – начальное распределение насыщенности. Тогда решением уравнения (6.29) будет

(6.33)

Уравнение (6.33) есть уравнение распределения насыщенности вдоль пласта. Уравнение (6.33) не применимо для плоскорадиального движения (рис.6.8), хотя функции (σ;) и остаются теми же, но в которых необходимо для строгого решения использовать относительные фазовые проницаемости K ₁^*() и K ₂^*() по экспериментальным данным для плоскорадиального вытеснения (см. рис. 6.8). Такие эксперименты к сожалению отсутствуют.

Однако в рамках теории Бакли-Леверетта уравнение плоскорадиального вытеснения нетрудно получить из уравнения И.А.Чарного (IХ.4.1[5]) для трубки тока переменного сечения S (х)=2 πrh. В конечном счете получаем уравнение

(6.33) '

 

Рис.6.7.Типовые кривые относительных проницаемостей при вытеснении нефти вводой и газом

Рис.6.8. Схема плоскорадиального притока к скважине

где r ₀(π;, 0) – начальный контур нефтеносности, q = соnst – удельный расход. Из сравнения (6.33) и (6.33) ' видим, что для плоскорадиального вытеснения насыщенность распределяется по квадратичному закону.

В работе [5] приведены следующие эмпирические приближенные формулы, полученные Чень Чжун-сяном по осредненным экспериментальным данным:для воды и нефти (s — водонасыщенность)

(6.34)

для газа и воды (s — газонасыщенность)

(6.35)

Имеются и другие эмпирические зависимости. Для газированной

жидкости С. А. Ахмедов принимает эти зависимости по Викофу-Ботсету [24]:

(6.36)

где s — насыщенность жидкостью.

В этой работе утверждается, что для газированной жидкости насыщенность жидкой фазой на контуре пласта при Р _к= const составляет s _к » 0,99, которая вдоль пласта (r<R _к)практически не изменяется и только вблизи забоя она резко падает. При фильтрации же газоконденсатных смесей s _к » 0,4. По мере приближения потока к скважине насыщенность жидкостью увеличивается. При этом содержание тяжелых компонентов (С ₃ Р ₈ +С _7+выс) уменьшается, а легких (N ₂, CO ₂, СН ₄, С ₂ Н ₆) — увеличивается. Особенно резкое изменение в составе смеси проявляется в области низких давлений. Таким образом, состав исходной пластовой смеси, фазовые соотношения и вид кривых фазовых проницаемостей являются основными характеристиками стационарной фильтрации.

В.В. Мустафаев [25] приводит другие зависимости для фильтрации газированной жидкости как функции насыщенности жидкостью s

(6.37)

В работе А.К. Курбанова и И.Ф. Куранова [26] предлагаются следующие эмпирические зависимости:

(6.38)

(6.39)

где

— для несмачиваемой жидкости;

— для смачиваемой жидкости;

s — насыщенность вытесняющей жидкостью (водой).

Используя зависимости (6.34), (6.35) и (6.37) из уравнения (6.28) получаем:

для вытеснения нефти водой

(6.40)

для вытеснения газа водой

(6.41)

для фильтрации газированной жидкости доля газа в потоке при пластовых условиях

(6.42)

Функцию f (s) можно выразить также через экспоненциальнуюзависимость [27]

, (6.43)

где константы а и b можно определить при совместном решении двух уравнений вида (6.43), составленных для двух значений водонасыщенности s. Например, для s =0,3 и s =0,7 имеем:

(6.44)

Значения определяются по соответствующим формулам (6.34)-(6.39). Подставляя (6.43) в (6.23) получаем

(6.45)

Заметим, формулы (6.23) и (6.45) выражают долю вытесняющей жидкости (водонефтяной фактор) из суммарного дебита скважины, приведеного к пластовым условиям, т. е.

(6.46)

Если же выразить через функцию Бакли-Леверетта долю добываемой нефти как отношение

(6.47)

тогда формула (6.45) запишется в виде

(6.48)

При использовании формулы (6.24) производные относительных фазовых проницаемостей определяются для каждого фиксированного значения насыщенности s по углу наклона касательной в данной точке к кривой относительной фазовой проницаемости. Этот метод требует весьма аккуратного и точного построения и отсчета, что весьма затруднительно. Возможен другой метод определения искомых – опять же метод касательной при использовании графической зависимости функции f (s). Недостаток остается прежним. Лучше использовать полуэмпирические зависимости (6.45) и (6.48). Взяв их производные по насыщенности, с учетом (6.43) получаем:

, (6.49)

. (6.50)

Определение средней насыщенности водой за фронтом и s _ф на фронте вытеснения с учетом погребенной воды может быть произведено также по формулам [28, 29].

(6.51)

(6.52)

Скорость движения воды при линейном вытесненииесть

(6.53)

Скорость движения воды при плоско-радиальном вытеснении определяется формулой

(6.54)

Время движения контура от начального положения до скважины определяется интегралом

(6.55)

6.7.3. Вытеснение одной жидкости другой с учетом капиллярного давления и массовых сил. Рассмотрим двухфазную фильтрацию нефти и воды с учетом капиллярных и массовых сил в трубке тока переменного сечения (см. рис. 1.5).

(6.56)

(6.57)

Используя (6.56) и (6.57) и вводя капиллярный скачок Р _к(s)= Р _в– Р _н, находим долю воды от суммарного расхода воды и нефти (q _ж= q _в+ q _н):

(6.58)

где

α; – угол наклона пласта к горизонту;

F (S) – площадь фильтрации;

s – водонасыщенность;

S – координата.

Заменяя в уравнении (6.58)

, (6.59)

получаем обобщенную функцию Бакли-Леверетта

(6.60)

Здесь – производная экспериментальной функции насыщенности Леверетта [5]. Для линейного вытеснения принимаются S=x и F (S)= Вh, для плоскорадиального – S=r и F (S)=2 πrh (В – ширина галереи, h – толщина пласта); при r=r _c получаем постоянство функции (6.60). Производная насыщенности dσ/dx может быть определена графически по зависимости σ;= f (S), построенной по известному уравнению Бакли-Леверетта (6.33), определяется уравнением (6.33) '.

Если пренебречь капиллярными силами [ ] и ввести функцию (6.28) тогда из (6.60) имеем:

(6.61)

Распределения насыщенности вдоль пласта при S=х, х (σ;,0)=0 и F (S)= Bh, согласно уравнениям (6.33) и (6.61), для линейного вытеснения и при х=r и F (S)=2 πrh, согласно уравнениям (6.33)' и (6.61), запишутся соответственно:

и (6.62)

При σ=σ;_Ф получим расстояние от контура питания до фронта вытеснения.

Производная функции (6.61) по s есть

(6.63)

где

(6.64)

Функции и могут быть определены по формулам (6.28) и (6.3 0) или (6.40) и (6.49).

Производные относительных фазовых проницаемостей, взятые по формулам (6.34), есть:

(6.65)

(6.66)

Анализируя формулу (6.61), можно сделать вывод, что существенное влияние угол наклона a окажет в случае малой вязкости нефти, высокой проницаемости и небольших скоростей фильтрации. При этом будет выполняться условие . Поскольку капиллярные силы действуют в противоположном направлении силам тяжести, формула (6.60), то они до некоторой степени будут взаимно поглощаться. Для горизонтального пласта капиллярное давление Р _к(s)будет снижать значение функции . Следовательно, будет выполняться условие .

Экспериментальная функция насыщенности Леверетта определяется формулой [5]

(6.67)

где

a –коэффициент межфазного натяжения, кгс/см;

т –коэффициент пористости, д. ед.;

K – коэффициент абсолютной проницаемости, см²;

Q – статический краевой угол смачивания;

J (s) – безразмерная функция водонасыщенности s, определяемая по графическим зависимостям (рис. 6.9).

Кривая 1 относится к впитыванию жидкости в породу, кривая 2 – к дренированию жидкости под действием силы тяжести. Вид кривых указывает на гистерезисный характер капиллярных явлений в пористых средах.

Взаимное торможение жидкостей, согласно которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, как считает И.А. Чарный [5], в первую очередь капиллярным эффектом. В расчетах часто капиллярным скачкам пренебрегают, принимая Р _к (s)=0. В этом случае капиллярность учитывается косвенно самим видом опытных кривых и .

Рис. 6.9. Графические зависимости функции Леверетта J (σ;)

(Кр.1 – относится к впитыванию; Кр.2 – относится к дренированию)

6.7.4. Расчет фронтальной и средней насыщенности в зоне вытеснения одной жидкости другой в соответствии с линейной моделью Бакли-Леверетта. Как известно, согласно теории Бакли-Леверетта для расчета насыщенности вытесняющей жидкости на фронте вытеснения s _ф и средней насыщенности ее s _ср, в зоне вытеснения необходимо знать значения относительных фазовых проницаемостей, которые обычно определяются экспериментальным путем на кернах, функцию Бакли-Леверетта f (s) и ее производную по насыщенности . Тогда расчет можно произвести по формулам [5]:

(6.68)

В разделе 6.7.2 приведены эмпирические зависимости для относительных фазовых проницаемостей при вытеснении нефти водой и газа водой (Чен Чжун-Сян), при вытеснении нефти водой (А.К. Курбанов и И.Ф. Куранов), при фильтрации газированной жидкости (нефть – газ) (С.А. Ахметов, В.В. Мустафаев).

В работе Douglas J. and others (Trans. FJME, V. 213, 1958) приводятся другие эмпирические зависимости для вытеснения нефти водой:

(6.69)

где s – насыщенность нефтью.

В известных монографиях указывается способ определения s _ф и s _ср методом касательной к построенной функции Бакли-Леверетта f (s) в зависимости от насыщенности s для фиксированного значения m ₀ (рис. 6.10).

 

Рис. 6.10. К определению фронтальной s _ф и средней s _ср