Синтез сателлитных механизмов

Зубчатые механизмы с подвижными осями некоторых зубчатых колёс называются сателлитными. Сателлитная передача, в которой на отдельные звенья наложена дополнительная кинематическая связь путём закрепления одного из центральных колёс, называется планетарной, а без дополнительной связи – дифференциальной. Эта связь может быть осуществлена соединением двух его звеньев замыкающей цепью, в результате чего образуется замкнутая дифференциальная передача.

Сателлитные механизмы дают возможность при небольшом количестве колёс, лёгкости и компактности конструкции воспроизводить большие передаточные отношения. Поэтому они получили широкое распространение в машиностроениии и приборостроении. Планетарные механизмы и замкнутые дифференциалы применяются для реализации передаточных отношений, а дифференциалы – для сложения угловых скоростей или разложения независимого вращательного движения двух выходных звеньев механизма.

Существует несколько методов определения передаточных отношений сателлитных механизмов: аналитический, основанный на принципе обращения движения, и графический, с помощью построения треугольников скоростей.

 

4.2.1. Графоаналитический метод определения
передаточного отношения (способ Л.П. Смирнова)

 

Рис. 4.10. Треугольники скоростей

Сущность метода определения передаточного отношения с помощью треугольников скоростей основан на том, что линейная скорость при вращении тела относительно неподвижной оси прямо пропорциональна радиусу вращения (V = ω r), и, следовательно, линейные скорости точек, лежащих на любом радиусе, изменяются по закону прямой линии (рис. 4.10).

На рис. 4.11 показаны начальные окружности колёс, соприкасающиеся в точке А, линейная скорость V_A которых изображается вектором .

 

Рис. 4.11. Начальные окружности колёс, соприкасающиеся в точке А

 

Для колеса 1 изменение скоростей точек, расположенных на диаметре А, изображается в виде треугольников О ₁ Аа и O ₁ Bb. Для колеса 2 скорости точек, расположенных на диаметре АС, изменяются по закону треугольников: О ₂ Аа и О ₂ Сс.

Длина отрезка Аа на чертеже равна , отрезка ОА –
(рис. 4.10), тогда где μ _V – масштаб скорости; μ _l – масштаб длины. Поскольку , то получим . Векторы линейных скоростей точек прямой ОА в масштабе μ _V ограничиваются наклонной Оа, составляющей угол β с прямой ОА и характеризующей распределение этих скоростей на отрезке ОА.

Следовательно, угловая скорость и число оборотов пропорциональны тангенсу угла с вершиной в точке О. Полученная зависимость позволяет перейти к графическим построениям для определения передаточного отношения механизмов с вращательным движением звеньев.

В зубчатой передаче (рис. 4.11) на плане скоростей наклонные ab и ас составляют углы β₁ и β₂ с линией центров О ₁ О ₂ и характеризуют закон изменения линей­ных скоростей на диаметрах колёс 1 и 2.

Проведём прямую YY перпендикулярно О ₁ O ₂ и от некоторой точки О на перпендикуляре к YY отложим отрезок произвольной длины OF = L. Затем через точку F проведём лучи и параллельно bа и са. Точки 1 и 2 пересечения лучей с прямой YY ограничивают длины отрезков и .

В результате получаем

Отсюда

,

,

.

Числа оборотов колёс 1 и 2 определяются по зависимостям:

,

.

Следовательно,

.

Для случая зубчатой передачи с внутренним зацеплением (рис. 4.11, б)

Из изложенного видно, что отрезки и изображают угловые скорости ω_1,2 в масштабе а числа оборотов n _1,2 в масштабе .

Если отрезки на плане угловых скоростей располагаются по разным сторонам от точки О, то колеса вращаются в противоположные стороны: одно – по часовой стрелке, другое – против. Следовательно, передаточное отношение оказывается отрицательным. В случае, когда отрезки и лежат по одну сторону от прямой OF, передаточное отношение является положительной величиной.

 

Планетарные механизмы

 

Механизмы, включающие неподвижные колёса, называются планетарными (рис. 4.12). Они состоят из центральных колёс 1 и 3, оси которых совпадают, водила Н и сателлита 2 (их может быть несколько). Сателлит вращается относительно своей оси и одновременно обкатывается вокруг колеса 1. Зубья колеса 1 нажимают на зубья колеса 2 и поворачивают его относительно неподвижного (опорного) колеса 3. При этом сателлит нажимает на свою ось и заставляет водило Н вращаться.

	План механизма

План линейных скоростей

Рис. 4.12. Планетарный механизм

 

Кинематический анализ планетарных механизмов

Кинематический анализ планетарных механизмов выполняется по методу Виллиса, основанному на остановке водила. Для этого всей планетарной передаче (рис. 4.12) мысленно сообщается вращение с угловой скоростью водила, но направленной в обратную сторону, т.е. – ω _Н. Таким образом, получается обращенное движение, при котором водило мысленно останавливается, а другие колёса освобождаются. Преобразованный механизм представляет собой рядовой зубчатый механизм, скорость звеньевв котором составляет ω _Н = 0; ω₁^(н)=ω₁⁽³⁾ – ω _Н ⁽³⁾; колесо 3 было неподвижно, а в преобразованном механизме его угловая скорость равнаω _Н ⁽³⁾.

Верхний индекс показывает неподвижное звено. Мысленная остановка водила равноценна вычитанию его угловой скорости из угловых скоростей подвижных колёс. Передаточное отношение в преобразованном механизме в итоге представляется как

. Но поскольку ω₃⁽³⁾ = 0, то получается

, откуда передаточное отношение планетарного механизма будет . При этом .

В обращенном механизме сателлит 2 является "паразитным" колесом и лишь изменяет направление вращения ведомого колеса. Окончательно будем иметь:

В общем виде формула Виллиса представляется как

 

 

где n и l – центральные колёса. При этом

При графическом методе определения передаточных отношений в планетарном механизме строятся планы линейных и угловых скоростей (рис. 4.12). Тогда

 

.

Из плана угловых скоростей:

где μ_ω – масштабный коэффициент плана угловых скоростей.

Передаточное отношение i _1-н⁽³⁾ оказывается положительным, так как отрезки и располагаются по одну и ту же сторону от вертикали OF.

Наиболее распространённые схемы планетарных механизмов

Основные схемы планетарных механизмов представлены на рис. 4.13.
В этих схемах неподвижным колесом может быть колесо 3 либо колесо 1.

Рис. 4.13. Основные схемы планетарных механизмов

Схема 1. Планетарная передача (Джемса) работает как силовой редуктор, т.е. уменьшает угловую скорость входного звена, если водило является выходным. Передаточное отношение .

Наименьшие габариты механизм имеет при i _{1- H} ⁽³⁾ = 4. Максимальное передаточное отношение можно получить в случае, когда неподвижным звеном является большое центральное колесо.

Эта передача работает как мультипликатор, т.е. увеличивает угловую скорость, когда входным звеном является водило. Направление угловой скорости входного звена в механизме не изменяется.

Схема 2. Редуктор со сдвоенными сателлитами по габаритам мало отличается от редуктора Джемса при i _{1- H} ⁽³⁾= 7. Передаточное отношение передачи .

Направление вращения выходного звена совпадает с направлением угловой скорости входного колеса.

Схема 3. Редуктор Давида применяется в несиловых передачах, в основном в приборостроении. Передаточное отношение равно

.

Схема 4. Редуктор Давида понижает скорость только при передаче от водила Н к колесу 1. Он имеет меньшие габариты по сравнению со схемой 3, но изготовление колёс с внутренним зацеплением более затруднительно. Передаточное отношение равно

.

В редукторах Давида (схемы 3 и 4) знак передаточного отношения всегда отрицательный, т.е. входное и выходное звенья вращаются в разные стороны.

 

Выбор чисел зубьев колес планетарной передачи

При назначении чисел зубьев планетарного механизма учитывается ряд ограничений, важнейшие из которых следующие:

· числа зубьев должны быть целыми числами;

· сочетание чисел зубьев колес должно обеспечивать заданное передаточное отношение с допустимой точностью;

· при отсутствии специальных требований в передаче целесообразно использовать нулевые колеса. Это ограничение записывается в форме отсутствия подреза зубьев: z > z _min=17 – для колес с внешними зубьями, нарезанными стандартным инструментом, и z > z _min = 85 при h ^* _a =1 и z > z _min= 58 при h * _a = 0,8 – для колес с внутренними зубьями, в зависимости от параметров долбяка;

· для обеспечения движения точек по соосным окружностям оси центральных колес и водила Н должны совпадать между собой (условие соосности);

· при расположении сателлитов в одной плоскости, т.е. без смещения в осевом направлении, соседние сателлиты должны располагаться с таким окружным шагом, чтобы между окружностями вершин обеспечивался гарантированный зазор (условие соседства);

· сборка нескольких сателлитов должна осуществляться без натягов при равных окружных шагах между ними (условие сборки).

Условие правильного зацепления, обусловливающее отсутствие заклинивания и интерференции зубьев, обеспечивается числами зубьев зацепляющихся колес в случае нарезания их долбяком, приведенными в табл. 4.1.

 

Таблица 4.1