ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Биномиальное распределение, распределения Пуассона и ГауссаОбозначим биномиальное распределение (5.8) как и вычислим для него среднее число ядер , распадающихся за некоторый промежуток времени. Для этого введем функцию и найдем ее первую и вторую производные по параметру z в точке z = 1: , (Г.1) . (Г.2) Согласно определению среднего, . Тогда, в силу (Г.1) . (5.10) Чтобы найти дисперсию биномиального распределения, разложим выражение для квадрата отклонения случайной величины от среднего: . Можно видеть, что при усреднении второго слагаемого в этом выражении получается нуль, так как среднее отклонение от среднего равно нулю. Далее представим первое слагаемое в следующем виде: . Используя определение дисперсии, найдем, что . Далее воспользуемся тем, что, согласно (Г.2), среднее значение произведения n (n – 1) есть вторая производная функции g (z). Отсюда Тогда . (5.11) При и р << 1 выражение (5.8) можно упростить. Подставляя, согласно (5.10), получаем: . Осуществим предельный переход во втором множителе: . Аналогично, пользуясь определением второго замечательного предела , получаем для третьего множителя . Таким образом, . (5.12) Полученное распределение WP (n) известно как распределение Пуассона. Преобразуем соответствующим образом распределение Пуассона для >>1. Во-первых, воспользуемся формулой Стирлинга для аппроксимации факториалов больших чисел . Тогда . (Г.3) Во-вторых, используем тот факт, что распределение WР (n) заметно отлично от нуля лишь в довольно узкой области справа и слева от максимума (см. рис. 5.2). Тогда, раскладывая показатель экспоненты в (Г.3) в ряд Тейлора по , , с точностью до первого неисчезающего члена (в данном случае – второго порядка по Δ n) и заменяя под корнем 2 πn на 2 π; , получаем . (5.14) Выражение (5.14) представляет собой не что иное, как закон Гаусса, или нормальное распределение непрерывной случайной величины.[207]
|