Студопедия — ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Биномиальное распределение, распределения Пуассона и Гаусса
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Биномиальное распределение, распределения Пуассона и Гаусса






Обозначим биномиальное распределение (5.8) как и вычислим для него среднее число ядер , распадающихся за некоторый промежуток времени. Для этого введем функцию

и найдем ее первую и вторую производные по параметру z в точке z = 1:

, (Г.1)

. (Г.2)

Согласно определению среднего,

.

Тогда, в силу (Г.1)

. (5.10)

Чтобы найти дисперсию биномиального распределения, разложим выражение для квадрата отклонения случайной величины от среднего:

.

Можно видеть, что при усреднении второго слагаемого в этом выражении получается нуль, так как среднее отклонение от среднего равно нулю. Далее представим первое слагаемое в следующем виде:

.

Используя определение дисперсии, найдем, что

.

Далее воспользуемся тем, что, согласно (Г.2), среднее значение произведения n (n – 1) есть вторая производная функции g (z). Отсюда

Тогда

. (5.11)

При и р << 1 выражение (5.8) можно упростить. Подставляя, согласно (5.10), получаем:

.

Осуществим предельный переход во втором множителе:

.

Аналогично, пользуясь определением второго замечательного предела

,

получаем для третьего множителя

.

Таким образом,

. (5.12)

Полученное распределение WP (n) известно как распределение Пуассона.

Преобразуем соответствующим образом распределение Пуассона для >>1. Во-первых, воспользуемся формулой Стирлинга для аппроксимации факториалов больших чисел .

Тогда

. (Г.3)

Во-вторых, используем тот факт, что распределение WР (n) заметно отлично от нуля лишь в довольно узкой области справа и слева от максимума (см. рис. 5.2). Тогда, раскладывая показатель экспоненты в (Г.3) в ряд Тейлора по ,

,

с точностью до первого неисчезающего члена (в данном случае – второго порядка по Δ n) и заменяя под корнем 2 πn на 2 π; , получаем

. (5.14)

Выражение (5.14) представляет собой не что иное, как закон Гаусса, или нормальное распределение непрерывной случайной величины.[207]







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 493. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

ПУНКЦИЯ И КАТЕТЕРИЗАЦИЯ ПОДКЛЮЧИЧНОЙ ВЕНЫ   Пункцию и катетеризацию подключичной вены обычно производит хирург или анестезиолог, иногда — специально обученный терапевт...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия