ПРИЛОЖЕНИЕ В. Квантовый гармонический осциллятор
Линейным, или одномерным гармоническим осциллятором называется частица, движущаяся в потенциале (величину k называют силовой постоянной). Согласно классической механике, такая частица совершает в направлении х гармонические колебания с циклической частотой . Уравнение Шредингера для одномерного осциллятора . Если ввести безразмерные величины энергии и координаты , то оно преобразуется в . (В.1) При ν; = 1 решением этого уравнения является функция , в чем легко убедиться путем проверки. Это решение соответствует основному состоянию осциллятора, так как оно не имеет узлов. Энергия в основном состоянии равна . Решение, соответствующее n -му возбужденному состоянию должно иметь n (1, 2, 3 и т.д.) узлов. Такое число узлов имеет функция , (В.2) где – полином n -й степени с некратными вещественными корнями. Используя то, что после подстановки (В.2) в уравнение (В.1) получим . (В.3) Второе и третье слагаемые здесь являются полиномами степени n. Тогда, чтобы определить ν;, достаточно сравнить коэффициенты при старших членах этих полиномов. Если коэффициент при ξ n в третьем слагаемом равен a (ν;–1), то во втором слагаемом он будет равен –2 an. Так как соотношение (В.3) должно выполняться тождественно, при всех значениях ξ;, то , что дает возможные значения энергии . Таким образом, уровни энергии квантового линейного гармонического осциллятора эквидистантны, т.е. находятся на равных расстояниях друг от друга (рис. В).
|