ПРИЛОЖЕНИЕ А. Формула Резерфорда

Когда α-частица пролетает вблизи ядра, на нее действует кулоновская сила отталкивания

.

В этом случае траектория частицы представляет собой гиперболу. Обозначим буквой θ; угол между асимптотами гиперболы (рис. А), характеризующий отклонение частицы от первоначального направления (угол рассеяния). Расстояние b от ядра до первоначального направления полета α-частицы называется прицельным параметром. Чем ближе пролетает частица от ядра (чем меньше b), тем сильнее она рассеивается (тем больше θ;).

Если считать рассеивающее атомное ядро бесконечно тяжелым, то из закона сохранения энергии следует, что вдали от ядра импульс рассеянной α-частицы р по модулю будет таким же, как и импульс до рассеяния р ₀. Следовательно, модуль приращения импульса α-частицы, возникающего в результате рассеяния

, (А.1)

где v – начальная скорость частицы, m_α – ее масса. Согласно 2-му закону Ньютона,

.

Спроектировав фигурирующие в этом равенстве векторы на направление Δ; p, получим:

. (А.2)

Из рис. A видно, что проекция силы F на направление вектора Δ; p равна F cos ψ;. Угол ψ; можно выразить через полярный угол φ; и угол рассеяния θ;:

.

Следовательно

.

Подставим это выражение в (А.2), выразив dt как dφ;/ (здесь точка означает дифференцирование по времени):

. (А.3)

Произведение равно M / m_α, где M – момент импульса α-частицы, взятый относительно рассеивающего ядра. Кулоновская сила, действующая на α-частицу, является центральной. Поэтому момент импульса остается все время постоянным и равным своему первоначальному значению m_αvb. Тогда после замены на vb интеграл (А.3) легко вычисляется:

. (А.4)

Сопоставляя (А.1) и (А.4), найдем, что

. (А.5)

Рассмотрим слой рассеивающего вещества настолько тонкий, чтобы каждая α-частица при прохождении через него пролетала вблизи только одного ядра, т.е. претерпевала лишь однократное рассеяние. Чтобы рассеяться на угол, лежащий в пределах от θ; до θ;+ dθ;, частица должна пролететь вблизи одного из ядер по траектории, прицельный параметр которой заключен в пределах от b до b + db, причем dθ; и db, как это следует из (А.5), связаны соотношением

. (А.6)

Знак «минус» в (А.6) обусловлен тем, что с увеличением b угол рассеяния убывает. Но так как далее нас будет интересовать лишь абсолютное значение db в функции от θ; и dθ;, знак минус учитывать не будем.

Обозначим площадь поперечного сечения пучка α-частиц буквой S. Тогда количество атомов рассеивающей фольги на пути пучка равно nSa, где n – число атомов в единице объема, a – толщина фольги. Если считать, что α-частицы распределены равномерно по сечению пучка и число их велико, то количество частиц dN, пролетающих вблизи одного из ядер по траектории с прицельным параметром от b до b+db, будет равно

, (А.7)

где N – общее количество частиц в пучке.

Выразив в (А.7) b и db через θ; и dθ; в соответствии с (А.5) и (А.6), получим

.

Далее преобразуем множитель, содержащий угол θ;; тогда

.

Выражение 2πsin θdθ; есть телесный угол d Ω, в пределах которого заключены направления, соответствующие углам рассеяния от θ; до θ;+ dθ;. Учитывая, что кинетическая энергия α-частицы T_α = m_αv ²/2, окончательно получаем

. (1.2)