ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа называется такая математическая операция, в результате которой функции -оригиналу N (t) ставится в соответствие функция F (p), называемая изображением функции N (t) и определяемая следующим образом:
Из определения следует, что преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е.
Используя определение (Д.1) и применяя интегрирование по частям, можно показать, что изображение первой производной функции, дифференцируемой в точке t = 0, выглядит как
Обратная операция отыскания оригинала по его изображению называется обратным преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа также линейно. Для отыскания оригиналов существуют таблицы, найти которые можно в математических справочниках. Приведем здесь краткую выдержку из подобной таблицы.
Указанные свойства преобразования Лапласа и обратного ему преобразования позволяют использовать их для решения систем линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Рассмотрим решение двух первых уравнений системы, описывающей скорость радиоактивных превращений в простейшей цепочке из двух радионуклидов:
Выразим F 1(р) из первого уравнения системы (Д.2):
Подставив этот результат во второе уравнение системы (Д.2), получим
Пользуясь свойством линейности обратного преобразования, по таблице находим оригиналы N 1(t) и N 2(t):
Если к первым двум уравнениям системы (6.2) добавить третье, соответствующее следующему превращению в радиоактивной цепочке,
Подставляя в это уравнение F 2(р) из (Д.3), находим, что
Отыскание оригинала по таблице приводит к следующему результату: Решение более сложных систем (в том числе для разветвленных цепочек) методом преобразования Лапласа также не представляет трудности. Однако, как показывает последний пример, аналитические решения Ni (t) при больших i выглядят весьма громоздко. В этом случае для получения результата предпочтительнее использовать алгоритм Бейтмана, изложенный в п. 6.2.
|