ПРИЛОЖЕНИЕ Ж. Одночастичные резонансы

Рассмотрим движение частицы с массой m и кинетической энергией T над одномерной прямоугольной потенциальной ямой конечной глубины V, (рис. Ж). В области 1 (r < – ρ;) решение уравнения Шредингера представляется суперпозицией падающей и отраженной волн:

, . (Ж.1)

В области 2 (– ρ; < r < ρ;) решение также будет суперпозицией двух волн: прошедшей через границу r = – ρ; и отраженной от границы r = ρ;:

, . (Ж.2)

В области 3 (r > ρ;) существует только волна, прошедшая границу r = ρ;:

. (Ж.3)

Для того чтобы вычислить коэффициенты прохождения и отражения частицы

, , (Ж.4)

надо выразить амплитуды А и B через C. Для этого сначала приравняем функции ψ;₂ и ψ;₃ и их первые производные на границе r = ρ;. В результате получим следующие уравнения:

,

.

Складывая эти уравнения друг с другом и вычитая друг из друга, найдем, что

, (Ж.5)

. (Ж.6)

Далее, приравнивая ψ;₁ и ψ;₂ и их первые производные при r = – ρ;, получаем вторую пару уравнений:

,

.

Решая их относительно A (также сложением и вычитанием уравнений), а затем используя (Ж.5) и (Ж.6), получим

, (Ж.7)

, (Ж.8)

где

, ,

а L = 2 ρ; – ширина потенциальной ямы. Так как амплитуды С и А – комплексные числа, возведение их в квадрат дает для коэффициента прохождения

, (Ж.9)

где «звездочка» означает операцию комплексного сопряжения. Тогда, после подстановки (Ж.7) в (Ж.9) и алгебраических преобразований с использованием формулы Эйлера для представления комплексных чисел , получим

. (Ж.10)

Аналогичным образом можно вычислить коэффициент отражения и показать, что R = 1– D.

Если sin(k ₂ L) в (Ж.10) отличен от нуля, то коэффициент прохождения не равен единице: имеется вероятность отражения частицы от потенциальной ямы. Однако при sin(k ₂ L) = 0, или k ₂ L = nπ;, где n – целое число, коэффициент прохождения строго равен единице (отражения нет). Подставляя эти значения k ₂ в (Ж.2), найдем энергии, при которых коэффициент отражения равен нулю:

. (Ж.11)

Итак, при положительных энергиях, удовлетворяющих равенству (Ж.11), коэффициент прохождения D = 1 (при этом в яме укладывается целое число длин полуволн). Эти значения E_n называются резонансными энергиями. Как следует из (Ж.11), их последовательность продолжает последовательность энергетических уровней в очень глубокой потенциальной яме (ПРИЛОЖЕНИЕ Б). Расстояние между ближайшими резонансными энергиями определяется формулой

.

Состояния частицы в области потенциальной ямы, когда ее энергия выше, чем ее энергия связи с ямой, называются одночастичными резонансами. Отличие одночастичных резонансов от связанных состояний – способность покинуть пределы ямы и, следовательно, очень ограниченное время жизни.