Плотность распределения непрерывной С.В., определение и свойства. Вычисление математического ожидания и дисперсии непрерывной С.В.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в. X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения вероятностей F(x). f(x)=F’(x)

Т. о., функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: Следовательно, зная плотность распределения вероятности f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле
Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:
f(x)≥0.
2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от -∞ до +∞ равен единице:

.площадь под графиком

Вероятностный смысл плотности распределения вероятности. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала :
.

Математическим ожиданием непрерывной с.в. X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл
.
Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

(предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует).

Дисперсией непрерывной с.в. называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку [a,b], то

.
Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

(предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует).

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии:
.