Двухфакторные модели

Двухфакторная модель для периода t

r_it = a_i + b_{i 1} F _{1 t} + b_{i 2} F _{2 t} + e_it,

где F _{1 t} и F _{2 t} – два фактора, оказывающих влияние на доходы по всем ценным бумагам, а b_{i 1} и b_{i 2} – чувствительности ценной бумаги i к этим двум факторам. Как и в случае однофакторной модели, e_it – случайная ошибка, a_i – ожидаемая доходность ценной бумаги i при условии, что каждый фактор имеет нулевое значение.

Рисунок иллюстрирует случай акций, на доходность которых влияют ожидания как темпов прироста ВВП, так и уровня инфляции. Каждая точка на рисунке соответствует определенному году. Однако на этот раз каждая точка определяется комбинацией доходности, уровня инфляции и темпов прироста ВВП в этом году. Россыпь точек совпадает с двухмерной плоскостью, полученной с помощью статистического метода множественной регрессии (multiple-regression analysis). Эта плоскость для любой ценной бумаги описывается уравнением, похожим на уравнение:   rt = a + b 1ВВП t + b 2И t + et,   Наклон плоскости в направлении темпа прироста ВВП (b 1) представляет чувствитель­ность акций к изменениям темпа прироста ВВП. Наклон плоскости в направле­нии уровня инфляции (b 2) представляет чувствительность этих акций к изменениям уровня инфляции.

 

Смещение (нулевой фактор), равное на рисунке 5,8%, дает ожидаемую доход­ность для случая, когда и прирост ВВП, и инфляция равны нулю. Наконец, для конкретного года расстояние от фактической точки до плоскости равно специфичес­кой доходности в этом году (е.), т.е. той части доходности, которая не связана ни с приростом ВВП, ни с инфляцией.

 

В рамках двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра: a, b ₁, b ₂ и стандартное отклонение случайной ошибки, обозначаемое как s_еi. Для каждого из_факторов нужно оценить два параметра — ожидаемое значение каждого фактора ( ₁ и ₂) и дисперсию фактора ( и ). Наконец, нужно оценить ковариацию факторов – cov(F ₁, F ₂).

 

Ожидаемая доходность ценной бумаги i может быть вычислена по следующей формуле:

_i = a_i + b_{i 1 1} + b_{i 2 2}

 

Дисперсия ценной бумаги i равна:

 

Ковариация ценных бумаг i и j определяется следующей формулой:

 

Все сказанное ранее относительно однофакторных моделей применимо и в случае ди­версификации.