Использование микрокалькулятора при расчете погрешности

Во всех современных инженерных и научных (scientific) микрокалькуляторах (МК) есть встроенные в память калькулятора программы для расчета погрешности статистического набора чисел (что является дополнительным доказательством важности этого вопроса в работе инженера). Порядок работы в режиме статистических расчетов в микрокалькуляторах может быть разным, поэтому ниже рассмотрим лишь одинаковые для большинства МК действия.

Непосредственно после ввода данных в память калькулятора на экран можно вывести среднее (наиболее вероятное) значение измеренной величины (обычно обозначается или ) и стандартное отклонение отдельного измерения ( или s). При этом среднее значение рассчитывается по обычной формуле (2), а для вычисления стандартного отклонения отдельного измерения используется формула:

. (8)

Стандартное отклонение отдельного измерения связано со случайной погрешностью простым соотношением:

(9)

где – коэффициент Стьюдента, зависящий от коэффициента доверительной вероятности a (показывает, какая часть измеренных данных в среднем должна оказаться внутри интервала ) и числа измерений n. Для a равного 0,95 (это значит, что 95 чисел из 100 в среднем должны оказаться внутри названного выше интервала) значения коэффициента Стьюдента в зависимости от числа измерений n приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения коэффициента Стьюдента

n						…		…	¥
t 0,95; n	12,7	4,3	3,18	2,8	2,6	…	2,28	…	2,0

Анализ данных табл. 1 показывает, во-первых, что отсутствует число n, равное единице. Действительно, при однократном измерении ни о какой оценке погрешности не может быть и речи. Во-вторых, если проводятся пять – семь измерений, то отношение

, (10)

поэтому в таких случаях вообще можно считать, что .

В качестве примера рассмотрим процедуру расчета погрешности прямых измерений на микрокалькуляторе CITIZEN SRP-265.

Пусть в результате прямых измерений получены значения высоты цилиндра (в см): 2,3; 2,5; 2,6; инструментальная погрешность 0,1 см.

Таблица 2

Расчет погрешности прямых измерений на микрокалькуляторе CITIZEN SRP-265

Клавиши	Действие	Дисплей	Комментарий
2ndF ON/C	STAT	STAT 0.	Включение режима статистических расчетов
2. 3 M+	DATA	STAT 1.	На дисплее показано количество введенных в память чисел
2. 5 M+	DATA	STAT 2.
2. 6 M+	DATA	STAT 3.
X→M		STAT 2.466666667	Среднее значение введенных чисел
MR	s	STAT 0.152752523	Стандартное отклонение отдельного измерения
× 4. 3 ÷ 3 =		STAT 0.379224355	Случайная погрешность, вычисленная по формуле (9)

 

Окончание табл.2

+ 0. 2 =		STAT 0.479224355	Абсолютная погрешность
÷ X→M × 100 =		STAT 19.42801438	Относительная погрешность, выраженная в процентах
2ndF ON/C		0.	Выход из режима статистических расчетов, очистка памяти

 

Применив правила округления (см. прил. 2) к полученным на микрокалькуляторе значениям, запишем результат измерения высоты цилиндра:

h = (2,47 ± 0,48) см с e_h = 19 %

В заключение заметим, что формулы (8), (9) для вычисления D x _сл являются более общими по сравнению с упрощенными формулами подразд. 2.2.

3. обработка результатов косвенных измерений

 

Большинство физических величин обычно нельзя измерить непосредственно, и их определение состоит из двух этапов – прямые измерения одной (x) величины или более (x, у, z, …) и последующий расчет искомой величины f по формуле: f = f (x, у, z, …).

Следовательно, и оценка погрешностей также включает в себя два этапа. Сначала необходимо оценить погрешность каждой из величин x, у, z, …, которые измеряются непосредственно в ходе прямых измерений, а затем определить, как эти погрешности (D x,D у,D z, …) влияют на погрешность конечного результата, т. е. найти D f.

Отметим, что среди величин x, у, z, … могут содержаться не только не-посредственно измеряемые величины, но и табличные (значения которых в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц) и так называемые данные установки (некоторые известные ранее характеристики экспериментальной установки, не измеряемые в данном опыте).

Способ оценки погрешностей таких величин изложен в прил. 3.