Расчет погрешности при косвенных измерениях

 

Пусть в результате обработки всех непосредственно измеряемых величин x, у, z, … для каждой из них найдены средние значения á x ñ, á у ñ, á z ñ, …, погрешности абсолютные D x,D у,D z, … и относительные e_x, e_y, e_z, ….

Требуется найти среднее значение á f ñ искомой величины, а также абсолютную D f и относительную e_f погрешности.

Среднее значение á f ñ вычисляют при средних значениях величин x, у, z, …, от которых зависит измеряемая величина f, путем их подстановки в расчетную формулу:

á f ñ = f (á x ñ, á y ñ, á z ñ, …). (11)

Если прямые измерения величин x, у, z, … выполняются независимо и подвержены только случайным погрешностям, то абсолютная погрешность D f косвенно измеряемой величины f определяется следующим образом:

, (12)

где частные производные , , , … вычисляются при средних значениях á x ñ, á у ñ, á z ñ, …, а количество слагаемых в сумме определяется числом величин, абсолютные погрешности которых найдены (подробнее о частных производных см. в прил. 4).

Из формулы (12) следует, что влияние составляющей абсолютной погрешности быстро падает по мере уменьшения этой составляющей.

Поэтому при вычислении абсолютной погрешности косвенного измерения целесообразно сначала вычислить все ее составляющие , , , сравнить их и затем пренебречь теми, которые меньше максимальной в несколько раз. Кроме того, сравнивая значения составляющих погрешностей, можно выявить значение прямого измерения, которое в наибольшей степени влияет на общую погрешность. При необходимости точность результата этого измерения можно увеличить в целях повышения точности эксперимента в целом.

Относительная погрешность косвенно измеряемой величины f вычисляется известным способом:

×100 %. (13)

Затем округляют результаты расчета и записывают окончательный результат измерения в стандартном виде:

f = (á f ñ ± D f) ед. изм. с e_f = … %. (14)

Если искомая величина представляет собой выражение вида

f = f (x, y, z) = x^ay^bz^c, (15)

т. е. не содержит операций сложения и вычитания, причем постоянные a, b, c могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, проще сначала найти относительную погрешность e_f. Действительно,

(16)

Прологарифмируем выражение (15):

ln f = a ln x + b ln y + c ln z. (17)

Вычисляя частные производные, получим:

; ; . (18)

Окончательно формула для нахождения относительной погрешности примет вид:

ae_x + be_y + ce_z. (19)

После этого рассчитывают абсолютную погрешность D f по формуле: D f = e_f ×á f ñ и записывают окончательный результат в виде формулы (14).