Сходимость ряда Фурье. Явление Гиббса

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ

Каждой абсолютно интегрируемой на отрезке* [—π, π] функции f(x) можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье:

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера — Фурье:

Справедливо следующее утверждение. Если функция f(x) кусочно-гладкая на отрезке[—π, π], то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если

сумма тригонометрического ряда Фурье, то

для любого X ϵ [—π, π] и

Обозначим
n-ю частичную сумму ряда Фурье кусочно-гладкой на отрезке [—π, π] функции f(x). Тогда утверждение теоремы можно записать в виде:

 

, если f(x) непрерывна в точке х₀; , если f(x) терпит разрыв первого рода (скачок) в точке х₀.

 

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с графиком функции*

и графики частичных сумм S_n(x) ее ряда Фурье.

На графиках видно, как сходятся частичные суммы ряда Фурье. В окрестности точек непрерывности функции f(x) разность между значением функции в точке х и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при n → , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае . Видно также, что разность S_n(x) — f(x) стремится к нулю тем скорее, чем дальше от точек разрыва функции расположена точка х. В окрестности точек разрыва x₀ = функции f(x) частичные суммы Фурье ведут себя иначе. При этом видно, что, хотя

существуют такие последовательности u_n → x₀ + 0 и v_n → x₀ - 0, что пределы S_n(u_n) и S_n(v_n) при n различны и оба отличаются от .

Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Явление Гиббса состоит в том, что для некоторых функций f(x) в точке x₀ ее скачка существуют такие значения α, что

 

 

 

Это утверждение не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел S_n(x_n), а в теореме — S_n(x).