Решение не линейных уравнений.

Пусть дано не линейное уравнение Пусть его требуется решить. Будем полагать, что - уравнение с вещественными коэффициентами и требуется найти вещественные корни.

Решение не линейного уравнения состоит из 2-х этапов:

1. Отделение корней.

2. Уточнение корней.

Отделить корень ­­– найти его приблизительное значение или указать достаточно узкий интервал, содержащий этот корень.

Определение корней опирается на 2 теоремы:

Т1:если ф-и определена и непрерывна на интервале (a,b) и принимает на концах этого интервала значения разных знаков, то на этом интервале уравнение содержит по крайней мере один корень(1 либо несколько).

Т2:если непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) не меняет знак своей 1-й производной, то на этом интервале уравнение содержит единственный корень.

Способ отделения корней
1. Табулирование функций

	+
	+
	-
…

 

2. Построить график ф-и:

3. Исследование функции: Уточнить корень – найти его значение с погрешностью, не превосходящих заданной величины.

Методы отделения корней.

1. Метод поразрядного приближения - многократное повторение табулирования ф-и на интервале смене знака с шагом, уменьшающимся с 10 раз.

2. Метод половинного деления или метод дихотомии.

 

 

 

Анализируем знаки. Если , то , иначе b=c

Если заданная точность, то

В excel оформить в виде таблицы:

a	b	c	f(a)	f(b)	f(c)	Точность
Если(f(a)*f(c)>0;c;a)						Если (ABS(b-a)<; “end”, иначе ABS(b-a)

3. Метод хорд.

 

 

 

 

 

В методе хорд изменяться будет на конце интервала (a,b) в котором знак ф-и противоположен знаку второй производной.

Уравнение прямой проходящей через 2 точки:

При

……………………………

Анализ вычисляемого алгоритма показывает, что завершение вычисления алгоритма определяется достижением справедливости следующего неравенства:

Под понимается или в зависимости от того, какая из этих точек интервала изменяется.