Сызықтық регрессия

Регрессия функциясының, яғни - тің - ке (немесе - тің - ке) тәуелділігінің моделінің түрін таңдап алғаннан кейін, мәселен, сызықтық моделін, моделдің коэффициенттерінің нақты мәндерін анықтау қажет.

және әртүрлі мәндері бойынша түріндегі шексіз көп тәуелділікті алуға болады, яғни координата жазықтығындағы шексіз көп түзулер тұрғызуға болады, ал бізге бақылап отырған мәндерге өте жақын, ең тиімді түрде сәйкес келетін тәуелділік қажет. Яғни, ең жақсы коэффициенттерді таңдау керек.

Ең кіші квадраттар әдісі (ЕКӘ)

сызықтық функциясын бақылау нәтижесінде алынған мәндерге қатысты іздейміз. Бақылау мәндеріне өте жақын сәйкес келетін функцияны табу үшін ең кіші квадраттар әдісін қолданамыз.

Мынадай белгілеулер енгіземіз: - теңдеуі бойынша есептелінген мәндер,

- бақылау нәтижесінде өлшелініп алынған мәндер,

- өлшелініп алынған мәндер мен теңдеу бойынша есептелінген мәндердің айырмасы, .

Ең кіші квадраттар әдісінде өлшелініп алынған мәндері мен теңдеу бойынша есептелінген мәндерінің айырмасы ең аз (минимальды) болуы талап етіледі. Яғни, а және коэффициенттерін бақылап отырған мәндердің түзу сызықты регрессияның мәндерінен ауытқуының квадраттарының қосындысы өте аз болатындай етіп іздейміз:

.

Бұл - фукнкциясы а және аргументтеріне тәуелді екі айнымалының функциясы болып табылады. - функциясын туындының көмегі арқылы экстремумға зерттей отырып, бұл функция минимальды мәнді, егер а және коэффициенттері мынадай жүйенің шешімі болған жағдайда қабылдайтынын дәлелдеуге болады.

(*)

Бұл жүйе ең кіші квадраттар әдісінің қалыпты теңдеулер жүйесі деп аталады.

Егер қалыпты теңдеулердің екі жағын да n – ге бөлсек, онда

аламыз.

, (**)

екенін ескерсек,

аламыз. Бұдан , а- ның мәнін бірінші теңдеуге қою арқылы

аламыз. - регрессия коэффициенті, а- регрессия теңдеуінің бос мүшесі.

Алынған түзу теориялық регрессия сызығының бағасы болып табылады.

.

Сонымен, сызықтық регрессияның теңдеуі.

Регрессия тура және кері болуы мүмкін.

Егер бірінші параметрдің мәндері өскенде, екінші параметрдің мәндері өсетін болса, онда ол тура регрессия,ал бір параметрдің мәндері өскенде, екінші параметрдің мәндері кемитін болса, онда ол – кері регрессияны білдіреді.

1-мысал. n елді мекендерінде тәулігіне тұщы суды санитарлы-тұрмыстық мұқтаждыққа пайдаланудың Х (л/адам) берілген деңгейіне жалпы ауру-сырқаулықтың (%) деңгейінің көптеген мәні сәйкес келеді. (% - ке шаққанда). Бұл жағдайда Х-тің өсуіне - ң кемуісәйкес келетіні байқалады. Бұл – кері, теріс корреляциялық байланыс. (1 сурет).

1-сурет. Х факторы мен параметрінің арасындағы кері корреляциялық байланысты бақылау өрісі.

2-мысал. Өндіріс аймағындағы жұмыс орнының тығыздығы Х (адам) өскен сайын жұқпалы ауру деңгейінің (% пен) өсуі – тура, оң; корреляциялық байланыстың мысалы болып табылады (2 сурет).

2-сурет.Х факторы мен параметрінің арасындағы тура корреляциялық байланысты бақылау өрісі.