В идеальном газе

 

Для одного моля идеального газа первое начало термодинамики с учетом (15.6) принимает вид

 

δ Q = c_V dT + pdV.

 

Если процесс адиабатический, то δ Q = 0 и

 

c_V dT + pdV = 0.

 

Из термического уравнения состояния следует: T = pV / R и dT = (pdV + Vdp) / R. Величина dT исключается, для c_V используется ее выражение через универсальную газовую постоянную R и показатель адиабаты γ, и после несложных преобразований получается дифференциальное уравнение

 

γ pdV + Vdp = 0.

 

Оно решается методом разделения переменных:

 

dp / p + γ dV / V = 0 ® ln p + γ · ln V = const ® pV ^γ = const 17.1)

 

– уравнение адиабатического процесса в идеальном газе (уравнение Пуассона). Отсюда ясен смысл названия для γ. Кривые (17.1) на (p, V) - диаграмме называются адиабатами Пуассона (в термодинамике просто адиабатами). Для газов γ > 1. Поэтому на (p, V )-диаграмме адиабаты падают круче изотерм. Это остается справедливым и с учетом реальных свойств газов (в области устойчивых состояний).

Если исключить давление (пользуясь уравнением состояния), то уравнение адиабаты примет вид

 

TV ^{γ – 1} = const.

 

При адиабатическом расширении газа (dV > 0) его давление и температура падают (dp < 0, dT < 0); при сжатии, наоборот, растут.

Клеман и Дезорм в 1819 г. предложили метод измерения γ для газов, в котором используется адиабатичность их расширения при истечении через кран и для малых перепадов давления. Более точный метод определения γ связан с измерением скорости звука (адиабатическая скорость звука в идеальном газе равна a = ).

Непосредственное определение на опыте теплоемкости c_V затруднено, так как при постоянном объеме масса газа, а следовательно, и его теплоемкость малы по сравнению со значениями соответствующих величин для калориметра. Удобнее измерять теплоемкость c_p и γ, а c_V вычислять по формуле (15.5).

Политропическим называется процесс при постоянной теплоемкости c. Частными случаями политропического процесса являются изохорический (c = c_V), изобарический (c = c_p), изотермический (c = ¥) и адиабатический (c = 0) процессы.

Пусть теплоемкость c одного моля известна. Тогда δ Q = cdT и из первого начала в дифференциальной форме

 

cdT = c_V dT + pdV

 

можно получить уравнение процесса. Итак,

 

(c_V – c) dT + pdV = 0 ® (c_V – c) / (c_p – c_V) × (pdV + Vdp) + pdV = 0 ®

 

® (c_p – c) pdV + (c_V – c) Vdp = 0.

 

Если ввести обозначение (c_p – c) / (c_V – c) = n (n – показатель политропы), то уравнение политропического процесса примет вид, сходный с уравнением адиабаты:

 

npdV + Vdp = 0 и pV ⁿ = const.

 

Подобным же образом могут быть получены уравнения других процессов.