Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

(матрицы линейного оператора)

Напомним основные понятия лекции “Собственные значения и собственные векторы линейного оператора”.

Пусть в линейном пространстве задан линейный оператор .

Определение. Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию (операторному равенству)

, , (1)

называется собственным вектором оператора . Число при этом называется собственным значением (собственным числом) оператора , соответствующим собственному вектору .

Выберем в пространстве некоторый базис и пусть оператору в этом базисе соответствует матрица . Тогда операторное равенство (1) можно переписать в матричном виде

, ,

или в виде системы уравнений

(2)

Так как нас интересуют нетривиальные решения системы (2) (поскольку собственный вектор по определению должен быть ненулевым), то основная матрица системы (2)должна быть вырожденной, то есть

.

Определение. Уравнение

(3)

называется характеристическим уравнением оператора .

Разложив определитель в уравнении (3), получим многочлен

(4)

-ой степени относительно . Многочлен (4) называется характеристическим многочленом оператора , его корни – характеристическими корнями многочлена (4).

Теорема. Для того чтобы число являлось собственным значением линейного оператора , необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения (3) этого оператора.

Определение. Алгебраической кратностью собственного значения линейного оператора называется кратность корня характеристического уравнения (3) (кратность характеристического многочлена ).

Кратностью корня называется натуральное число такое, что

, , …, , .