Доверительный интервал
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, — точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. И нтервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже). Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом ( может быть и случайной величиной). Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности | - |. Другими словами, если > 0 и | - | < , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству | - |< ; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность с которой осуществляется неравенство | - | < . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве у берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999. Пусть вероятность того, что | - | < , равна P [| - | < ] = . Заменив неравенство | - | < , равносильным ему двойным неравенством - , или , имеем Р[ ] = Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал () заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна . Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . Замечание. Интервал имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения . Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами — функциями от . Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр , а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет . Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.
|