Сравнение нескольких средних.

Пусть генеральные совокупности распределены нормально и имеют одинаковую, хотя и неизвестную, дисперсию; математические ожидания также неизвестны, но могут быть различными. Требуется при заданном уровне значимости по выборочным средним проверить нулевую гипотезу о равенстве всех математических ожиданий, то есть установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние. Казалось бы, для сравнения нескольких средних (p > 2) можно сравнить их попарно. Однако с возрастанием числа средних возрастает и наибольшее различие между ними: среднее новой выборки может оказаться больше наибольшего или меньше наименьшего из средних, полученных до нового опыта. По этой причине для сравнения нескольких сред­них дисперсионным анализом, который основан на сравнении дисперсий.

На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некото­рый качественный фактор F, который имеет p уров­ней на изучаемую величину X. Например, если требуется выяснить, какой вид удобрений наиболее эффективен для получения наибольшего урожая, то фак­тор F - удобрение, а его уровни - виды удобрений.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в срав­нении «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной слу­чайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на X; в этом случае средние наблюдаемых зна­чений на каждом уровне (групповые средние) различа­ются также значимо.

Если уже установлено, что фактор существенно влияет на X, а требуется выяснить, какой из уровней оказы­вает наибольшее воздействие, то дополнительно произ­водят попарное сравнение средних.

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предполо­жению; если дисперсионный анализ покажет, что и мате­матические ожидания одинаковы, то в этом смысле сово­купности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

В более сложных случаях исследуют воздействие нескольких факторов на нескольких постоянных или случайных уровнях и выясняют влияние отдельных уров­ней и их комбинаций (многофакторный анализ),

Мы ограничимся простейшим случаем однофакторного анализа, когда на X воздействует только один фактор, который имеет p постоянных уровней.