Свойства скалярного произведения.

I. a·b b·a – переместительный закон.

II. a· (b + с) = a·b + a·c – распределительный закон.

III. Если a || b, то a·b = ± a b. В частности, a ² = a·a = a a cos 0 = a²; Отсюда

a = a ² (3)

IV. Если a ^ b, то a·b = a b cos p/2 = 0.

V. Скалярные произведения ортов:

i·j = 0, j· k = 0, i·k = 0, i· i = 1, j· j = 1, k· k = 1.

VI. Если векторы заданы координатами a { a_x, a_y, a_z } и b { b_x, b_y, b_z },

то

a·b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z (4)

3.0.2.3.3. Угол между векторами:

 

cos j = (a·b) / (a b) = (5)

Условие параллельности: a = m a или .

Условие перпендикулярности: a·b = 0 или a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0.

 

3.0.2.4. Векторное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение в декартовых координатах.

 

3.0.2.4.1. Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой третий вектор c, который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах a и b;

2) перпендикулярен к плоскости параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение от a к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки. Такое расположение векторов a, b и c называется правой связкой.

 

Векторное произведение обозначается: a´ b. Итак,

a´ b = c, если

1) c = | a´ b | = a b sin j,

2) c ^ a и c ^ b,

3) a, b, c составляют правую связку.