Общее уравнение плоскости.

Ax + By + Cz + D = 0 (2)

Вектор N {A,B,C}называется нормальным вектором к плоскости (2) или (1).

 

3.0.3.5.3. Особые случаи уравнения Ax + By + Cz + D = 0:

I. D = 0, Ax + By + Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат.

II. C = 0, Ax + By + D = 0 – плоскость параллельна оси Oz.

III. C = D = 0, Ax + By = 0 – плоскость проходит через ось Oz.

IV. B = C = 0, Ax + D = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz.

V. Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

 

3.0.3.6. Уравнение плоскости в отрезках на осях, смысл его коэффициентов.

 

3.0.3.7. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки пространства.

Пусть r₁ (x₁, y₁, z₁), r₂ (x₂, y₂, z₂), r₃ (x₃, y₃, z₃) – радиус-векторы точек M_1, M₂, M₃ и r (x, y, z) - радиус-вектор текущей точки M, тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки можно записать в виде равенства нулю смешанного произведения:

(r - r₁) (r₂ - r₁) (r₃- r₁) = 0

или через определитель в координатной форме:

 

(x - x ₁) (y - y₁ ) (z - z₁ )

(x₂ - x₁) (y₂ - y₁) (z₂ - z₁) =0

(x₃- x₁) (y₃- y₁) (z₃- z₁)

3.0.3.8. Угол образованный двумя плоскостями.

cos j = ±

где N { A,B,C } и N₁ { A₁,B₁,C₁ } - нормальные векторы к плоскостям Ax + By + Cz + D = 0 и A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

Условие параллельности плоскостей:

Условие перпендикулярности плоскостей:

 

AA₁ + BB₁ + CC₁ = 0

 

3.0.3.9. Расстояние d точки M₀ (x₀, y₀, z₀) от плоскости Ax + By + Cz + D = 0:

d =

здесь N { A,B,C } - нормальный к плоскости вектор.

 

3.0.3.10. Уравнение прямой.

 

3.0.3.10.1. Уравнение прямой,проходящей через точку A(a,b,c) и параллельной

вектору P {m, n, p}. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка прямой,

тогда, AM || P и по условию параллельности векторов

 

(1)

 

 

 

Уравнения (1) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор P {m, n, p} называется направляющим вектором прямой.

 

3.0.3.10.2. Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (1) параметру t:

 

x = m t + a

y = n t + b (2)

z = p t + c

 

3.0.3.10.3. Уравнения прямой,проходящей через две точки:

 

(3)

 

3.0.3.10.4. Общие уравнения прямой:

Ax + By + Cz + D = 0 (4)

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

 

3.0.3.10.5. Уравнения прямой в проекциях получим, исключив из общих

уравнений (4) один раз y, другой раз x:

 

x = m z + a

y = n z + b (5)

Уравнения (5) можно записать в канонической форме: