Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Комплексные числа




Комплексные числа применяются, в частности, для решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в области множества действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

 

Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается , а число - мнимой частью числа и обозначается , т.е. , .

Действительное число является частным случаем комплексного при . Комплексные числа вида , не являющиеся действительными (т.е. при ), называются мнимыми, а при , , т.е. числа вида - чистомнимыми.

 

Числа и называются сопряженными. Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. , если , . В частности , если и .

 

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом:

 

1. Сложение (вычитание) комплексных чисел:

.

2. Умножение комплексных чисел:

.

 

В частности,

3. Деление двух комплексных чисел:

Пример 7. Даны два комплексных числа и . Найти , , , .

Решение.

 

,

,

,

.

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получаем:

 

.n

 

Пример 8. Решить квадратное уравнение .

Решение.

 

Используя, хорошо известную формулу нахождения корней квадратного уравнения, получим:

.

Проверить правильность решения можно с помощью теоремы Виета:

Действительно,

.n

 

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости .

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости , причем это соответствие взаимно однозначное. Оси и , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются соответственно действительной и мнимой осями (рис. 4).

 

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается :

.

Угол , образованный радиус-вектором с осью , называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Очевидно, что

, .

Следовательно, комплексное число можно представить как:

.

Данное представление комплексного числа, где , , называется тригонометрической формой комплексного числа.

 

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 245. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия