II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Хід уроку

І. Аналіз контрольної роботи.

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

На уроках математики ви неодноразово розв'язували задачу: обчислити значення функції у = f(x) при заданому значенні х ₀аргументу. Іноді потрібно розв'язати і обернену задачу: обчислити значення аргументу х, при якому функція у = f(x) набуває даного значення у ₀.

При розв'язуванні оберненої задачі виникають питання: Скільки таких значень існує? При яких умовах задача має єдиний розв'язок?

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай задано функцію у = 2 х + 1. Щоб знайти значення аргументу х, при яких функція дорівнює у ₀, треба розв'я­зати рівняння у₀ = 2х + 1. Розв'язавши його 2 х = у ₀ - 1; , маємо, що для будь-якого у₀ рівняння у₀ = 2х + 1 має і притому тільки один корінь.

Приклад 2. Для функції у = х² рівняння у₀ = х² при у₀ > 0 має два корені: х ₁ = = - ; х ₂ = .

!

Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення, називається оборотною. Таким чином, функція у = 2х + 1 — оборотна, а функція у = х² (визначена на всій числовій осі) не є оборотною.

Залежність із прикладу 1: виражає х як деяку функцію від у (аргумент цієї функції позначений літерою у, а значення функції — літерою х). Перейшовши до звичних позначень (аргумент — х, функція — у), матимемо функцію: , яка називається оберненою до функції у = 2х + 1.

Побудуємо графіки функцій у = 2х + 1 і в одній системі координат (рис. 102), графіки цих функцій розташовані симетрично від­носно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Підведемо підсумки:

1) Якщо функція у = f(x) задана формулою, то для знаходжен­ня оберненої функції потрібно розв'язати рівняння f(x) = у відносно х, а потім поміняти місцями х і у. Якщо рівняння f(x) = у має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до функції у = f(x) не існує.

2) Графіки даної функції і оберненої до даної симетричні відносно прямої у = х.

3) Якщо функція у = f(x) зростає (спадає) на деякому проміжку, то вона оборотна. Обернена функція до даної, визначена області значень функції у = f(x), також є зростаючою (спадною).