Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вопросы для подготовки к экзамену

по дисциплине «Математика»

Курс, 1 семестр

Линейная алгебра

1.1. Понятие матрицы. Основные виды матриц. Операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число, элементарные преобразования матриц, произведения матриц.

1.2. Определители 2 и 3 порядка.

1.3. Понятие об определителе n –порядка. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисления определителей n –порядка.

1.4. Свойства определителей.

1.5. Обратная матрица. Способы ее вычисления.

1.6. Ранг матрицы, его свойства и вычисление. Базисный минор.

1.7. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия: однородная и неоднородная система, решение системы, совместная и несовместная система, неопределенная и определенная система,

1.8. Матричная форма записи СЛАУ. Матрица и расширенная матрица системы.

1.9. Исследование линейных алгебраических систем на совместность. Теорема Кронекера – Капелли.

1.10. Методы решения линейных алгебраических систем: матричный, Крамера, Гаусса.

1.11. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

2.1 Векторы. Основные понятия. Операции над векторами в геометрической форме: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Свойства этих операций.

2.2 Общее понятие линейного (векторного) пространства. Понятие линейной зависимости и независимости векторов. Базис и размерность пространства. Разложение вектора в произвольном (аффинном) базисе. Координаты вектора.

2.3 Декартов базис в пространствах R² и R³. Разложение вектора в декартовом базисе, длина и направляющие косинусы вектора. Действия над векторами в координатной форме. Простейшие задачи: расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.

2.4 Проекция вектора на ось. Свойства проекции.

2.5 Скалярное произведение векторов: определение, свойства, применения в геометрии, вычисление в декартовых координатах.

2.6 Векторное произведение векторов: определение, свойства, применения в геометрии, вычисление в декартовых координатах.

2.7 Смешанное произведение векторов: определение, геометрический смысл, свойства, применение в геометрии, вычисление в декартовых координатах.

2.8 Прямая линия на плоскости и ее основные виды уравнений.

2.9 Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

2.10 Окружность: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение.

2.11 Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, эксцентриситет и его смысл, директрисы. Эллипс со смещенным центром.

2.12 Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, асимптоты, эксцентриситет и его смысл, директрисы. Сопряженная гипербола. Гипербола со смещенным центром.

2.13 Парабола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение. Парабола со смещенной вершиной.

2.14 Общее уравнение линии второго порядка, преобразование к каноническому виду линии со смещением.