Математические модели элементарных измерительных сигналов

Дельта – функция рассмотрим теоретическую модель бесконечно короткого импульса с бесконечно большой амплитудой, аналитически определяемого формулой:

 

 

Площадь такого импульса всегда равна единице, т.к. .

Функцию называют дельта-функцией, единичным импульсом, функцией Дирака, и она имеет физическую размерность циклической частоты – с ^-1.

При сдвиге дельта-функции по оси времени на интервал определения функции можно записать в общем виде:

, .

Дельта-функция обладает важнейшим свойством, благодаря которому она получила широкое применение в математике, физике, радио – и измерительной технике.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция времени . Тогда, согласно вышеприведенным формулам, справедливо соотношение:

Это выражение характеризует фильтрующее (выделяющее, или стробирующее – от слова «строб» - короткий прямоугольный импульс) свойство дельта-функции, которое используется для представления дискретизированных во времени сигналов с шагом дискретизации .

Единичная функция. Предельное, упрощенное аналитическое выражение этого сигнала принято записывать так:

.

Функцию называют единичной функцией, функцией включения или функцией Хевисайда.

Спектральная плотность гармонического сигнала. Определим спектральную плотность сигнала . Подставим в прямое преобразование Фурье заданный сигнал, и, воспользовавшись формулой Эйлера , находим:

=

Последнее соотношение можно записать в следующем виде:

 

= | | = .

Итак, гармоническому (в данном случае косинусоидальному) сигналу с конечной амплитудой соответствует дискретный спектр, состоящий их двух линий бесконечно большой амплитуды в виде дельта-функций, расположенных симметрично относительно нуля на частотах и . По аналогии с косинусоидальным сигналом нетрудно показать, что синусоидальному сигналу отвечает спектральная плотность

= .

Здесь знак минус – следствие нечетности функции синуса.

Экспоненциальный импульс. Это сигнал с «полубесконечной» длительностью и при единичной амплитуде описывается как , гле - вещественный параметр.

Постоянный сигнал – самый простой из элементарных сигналов (напряжение, ток).