НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е₁´Е₂´...´Е_n - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n =2 и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R:(X,Y)® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)Î X´Y величину m_R (x,y) Î[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X´Y запишется в виде: xÎ X, yÎ Y: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

1. Пусть X = {x₁,x₂,x₃}, Y = {y₁,y₂,y₃,y₄}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

2.

3. Пусть X = Y = (- , ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

4. Отношение R, для которого m_R (x,y) = e ^-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".
В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i,x_j) в случае XRX соединяется ребром с весом m_R (x_i,x_j), в случае XRY пара вершин (x_i,y_j) соединяется ребром c весом m_R (x_i,y_j).

Примеры:

1. Пусть Х={x₁,x₂,x₃}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:

2. Пусть X={x₁,x₂} и Y={y₁,y₂,y₃}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором G Ì X ´ Y, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что G Ç = Æ и G È = X ´ Y.

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R: X ´ Y ®[0,1].