Нестационарная задача теплопроводности для неограниченной пластины с граничными условиями 1 и 2 рода.
Неограниченная пластина толщиной 2h имеет начальную температуру, равную температуре окружающего воздуха. В начальный момент времени в центре пластины начинает действовать источник постоянной мощности. Основания пластины поддерживаются при постоянной температуре. Математическая запись задачи следующая:
Для решения задачи используем метод интегральных преобразований Лапласа.
При этом дифференциальное уравнение теплопроводности преобразуется к виду:
Решение задачи (2.1 – 2.2) сводится к решению дифференциального уравнения с начальным и граничными условиями:
Решение уравнения (2.5) имеет вид:
Для нахождения констант А и В воспользуемся граничными условиями (2.6). Продифференцируем (2.7):
Подставим в (2.7) полученное значение константы В:
Значение функции на поверхности пластины (х=h)
Так как
Откуда находим значение константы А:
Подставив полученные значения констант в уравнение (2.7), получим:
Обозначим
Осуществляя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал решения:
Найдем корни полинома
Найдем значение ψ’ (s).
Тогда
Подставив (2.13) и (2.14) в уравнение (2.11), получим решение для оригинала:
Обозначим
Тогда решение задачи представляется в виде:
|
(2.1)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
, то получаем
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
