Задача для полуограниченного тела с граничным условием второго рода.
В начальный момент времени полуограниченное тело имеет температуру То. Ограничивающая поверхность нагревается постоянным тепловым потоком. Изменение температуры происходит в одном направлении. Найти распределение температуры по данному направлению в любой момент времени. Математическая запись задачи следующая:
Данную задачу можно свести к задаче теплопроводности с граничными условиями 1 рода. Вместо переменной Т(х, τ) введем новую переменную q (плотность теплового потока), определяемую соотношением
Продифференцируем уравнение теплопроводности по х.
Тогда дифференциальное уравнение можно записать в виде:
Таким образом, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для одномерной задачи. Начальные и граничные условия имеют вид:
Решение такого дифференциального уравнения с приведенными граничными условиями известно:
Чтобы найти Т, подставим в последнее уравнение выражение для q и проинтегрируем от х до
где
|
(4.1)
.
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
:
(4.6)
