Нестационарная задача теплопроводности для полуограниченного тела

Применим метод преобразования Лапласа для решения задачи теплопроводности для полуограниченного тела (бесконечно длинного стержня, боковая поверхность которого имеет идеальную теплоизоляцию).

Температура полуограниченного тела во всех точках имеет определенное значение, заданное некоторой функцией ¦(х), превышающей значение температуры окружающей среды. В начальный момент времени конец стержня принимает температуру Т_с, которая поддерживается постоянной в течение всего процесса теплообмена. Найти распределение температуры по длине стержня в любой момент времени.

Математически задача формулируется следующим образом.

Имеем дифференциальное уравнение

(t>0, 0 < х < ¥) (3.1)

при краевых условиях

 

Вначале для упрощения задачи положим Т_с=0 (в случае неравенства нулю температуры среды, можно осуществить замену переменной Т).

Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению.

 

 

(3.2)

 

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных для оригинала функции Т(x,t) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения Т_L(x,s), так как Т_L(x,s) не зависит от времени t. При этом переходе используется начальное условие.

Перепишем уравнение (3.2) в виде

 

(3.3)

 

Рассмотрим более простую задачу, когда температура стержня до охлаждения всюду одинакова и равна Т₀, т.е. . В этом случае уравнение (3.3) примет более простой вид:

(3.4)

 

Общее решение дифференциального уравнения (3.4) для изображения можно записать в следующем виде:

 

, (3.5)

 

где А₁ и В₁ – постоянные, определяемые из граничных условий.

Применим преобразование Лапласа к граничным условиям:

 

,

 

.

 

Воспользуемся вторым граничным условием:

 

,

 

из которого следует, что А₁=0. В противном случае первый член правой части этого уравнения неограниченно возрастает с ростом х.

Воспользуемся первым граничным условием:

 

.

 

Тогда решение для изображения будет иметь вид:

 

(3.6)

 

Для нахождения оригинала применим обратное преобразование Лапласа:

 

.

 

В нашей задаче . Следовательно, решение задачи будет иметь вид:

 

, (3.7)

 

откуда получаем:

. (3.8)

 

называется функцией ошибок Гаусса.

 

Функция erf(U) изменяется от 0, когда U=0 до 1, когда U стремится к бесконечности (практически когда U > 2,7, так как erf(2,7)=0,9999).

 

Если температура конца стержня не равна нулю, а равна , то граничное условие перепишется в виде:

 

.

Следовательно, постоянная , так как Т₀ > Т_с. Тогда решение для изображения примет вид:

 

. (3.9)

 

Применив обратное преобразование Лапласа, получим решение для оригинала:

 

, (3.10)

 

где .

 

Решение также можно представить в виде:

 

. (3.11)