TM моды

Продольная E_z компонента TM волны, так же как и другие компоненты светового поля удовлетворяет волновому уравнению:

, (28)

или в координатном представлении

. (29)

Применяя для решения (29) метод разделения переменных, предположим, что решение уравнения можно представить в виде:

, (30)

где β; – константа распространения световой волны в направлении z.

Подстановка (30) в (29) дает

, (31)

где h ²= k ²- β;².

Первое слагаемое в (31) зависит только от x, второе – только от y. Для того, чтобы (31) удовлетворялось при произвольных x, y, оба выражения должны равняться неким постоянным значениям k_x и k_y. В результате имеем:

, (32)

где k_x ² + k_y ² = h ². Исходное уравнение в частных производных разделилось на два обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое зависящее только от одной переменной. Общим решением этих уравнений является:

, (33)

. (34)

Результирующая продольная магнитная компонента TM имеет вид:

. (35)

Допустим, что световое поле существует только в объеме волновода и не проникает в прилегающие к этой области диэлектрические области. Это не является верным для реальных условий. Поле частично проникает (просачивается) в эти области и экспоненциально затухают по мере удаления от границы раздела. Это гораздо более сложная задача. Но, в настоящий момент, гораздо более актуальным является рассмотрение основных закономерностей. В этом случае условия для TM граничных условий можно сформулировать в следующем виде:

. (36)

Это означает, что продольная TM волна принимает нулевые значения на вертикальных стенках волновода, имеющего ширину a. На горизонтальных стенках шириной b выполняются те же самые условия:

. (37)

C учетом (35) непосредственно получаем

. (38)

. (39)

. (40)

(41)

В результате

. (42)

Каждая из рассматриваемых компонент может существовать внутри волновода, поэтому общее решение задачи необходимо рассматривать как сумму частных решений.

Поперечные полевые компоненты TM_mn мод находятся дифференцированием продольных компонент:

. (43)

(44)

. (45)

. (46)

В общем случае частота отсечки будет быстро достигаться по мере увеличения индексов моды. Т.о., на практике, только моды с малыми индексами будут распространяться с частотой ниже частоты отсечки.