TE моды

Для рассматриваемой геометрии планарного волновода TE -моды характеризуются условием: E_z =0. Исходя из рассмотрения системы уравнений (16), получаем E_x = H_y =0, т.к. ∂H_z / ∂y =0. Поэтому единственными компонентами поля в этом случае являются H_x, E_y и H_z. Тогда

, (18)

где k ²= k ₀² n (x)².

Компоненты H_x и H_z могут быть определены из E_y, используя соотношения (15), (16):

, . (19)

 

рис.11. Геометрия пластины с показателем преломления n ₁ между двумя диэлектриками с показателем преломления n ₂.

 

В случае TM -моды планарного волновода, TM =0. Тогда H_x = E_y =0, т.к. ∂E_z / ∂y =0. В этом случае светового поля будут E_x, H_y и E_z. Волновое уравнение в этом случае имеет вид:

, (20)

где k ²= k ₀² n (x)².

 

 

В качестве первого примера рассмотрим световое поле в пластине с показателем преломления n ₁ между двумя слоями диэлектрика с одинаковым показателем преломления n ₂ (рис.11). В этом случае уравнения (18) и (20) имеют один и тот же вид.

Обозначим как q = и h = k ₁cos(θ;)= . Решения уравнения (18) для разных областей в этом случае будет иметь вид:

. (21)

Для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C и D используем условия равенства рассматриваемых функций на границах раздела и условие симметрии задачи.

Когда распределение показателя преломления вдоль оси x симметрично, то решениями волнового уравнения будут либо симметричные, либо антисимметричные моды по отношению к плоскости симметрии планарного волновода (y - z плоскости при x =0). Тогда - симметричная мода, (22)

- антисимметричная мода. (23)

Комбинируя (22), (23) и (21), имеем:

- симметричная мода, (24)

- антисимметричная мода, (25)

где и .

Тогда, учитывая, что q = и h = k ₁cos(θ;)= , можно записять:

. (26)

Это означает, что значения ρ; и ν; лежат на окружности радиуса V, который равен

. (27)

 

рис.12. Графическое рассмотрение распространение света в планарном волноводе.

Величина V известна как безразмерный параметр светового волновода и, если он задан, то значения ρ; и ν; определяются из (27) и (23), (24). Это удобно делать графическим методом, как это показано на рис.12. При уменьшении световой частоты ω; с одновременным уменьшением ρ; к началу координат, все пересечения графиков исчезают за исключением одного пересечения с ветвью тангенса. Это соответствует фундаментальной моде m =0 без отсечки частоты. Т.е. такая мода с распределением напряженности TE -волны, как это показано в правой части рис.13 имеет право на распространение. И геометрическая интерпретация в основном относиться именно к этой ситуации.

Все высшие моды с m >0 имеют отсечку. Они не могут распространяться в волноводе выше определенной частоты отсечки. Два круга на рис.12 соответствуют значениям V /2=2 и V /2=5; при этом число разрешенных мод может быть показано в следующей таблице:

Значение V	Число симметричных мод	Число антисимметричных мод

 

рис.13. Характер распространения симметричной и антисимметричной TE ₁ световой волны в планарном волноводе.

Характер полевой структуры (распределение напряженностей электрического и магнитных полей по сечению планарного волновода) симметричной и антисимметричной TE волны показан на рис.13. Если в случае симметричной структуры напряженность TE волны принимает максимальное значение в начале координат, то в антисимметричном случае напряженность поля равна нулю. Для TH волны имеет место симметричный и обратный случай.