Синусоидальный режим в однородной линии

При периодическом режиме под воздействием приложенного к линии синусоидального напряжения в любой точке линии напряжение и ток изменяются синусоидально с частотой источника. Обозначим комплексные действующие значения напряжения и тока на расстоянии от начала линии через и .

Применяя комплексную форму записи, перепишем уравнения в комплексном виде:

.

(11-4)

Ввиду того что комплексные значения и не зависят от и являются только функциями , при переходе от уравнений (11-2) к (11-4) частные производные по заменены обыкновенными.

Исключая из системы (11-4) ток , получаем уравнение относительно :

(11-5)

Аналогично, исключая из (11-4) напряжение , получаем уравнение относительно :

(11-6)

Обозначим квадратный корень из комплексного множителя при или через

(11-7)

и назовем эту величину коэффициентом распространения. Смысл такого названия выяснится позже.

Итак, уравнения (11-5) и (11-6) записываются в виде:

(11-8)

(11-9)

Получились одинаковые однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение первого из них имеет вид:

Ток после этого получается подстановкой (11-9) в первое уравнение (11-4):

или

(11-10)

где

(11-11)

называется волновым сопротивлением линии.

Смысл такого названия объяснен дальше.

Подставив (11-7) в (11-9), получим:

Мгновенное значение напряжения в точке равно мнимой части выражения :

(11-12)

здесь и – аргументы комплексных величин и .

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке линии слагается из двух функций.

Рассмотрим вначале первую из этих слагающих функций.

Если считать точку фиксированной и рассматривать изменение напряжения в данной точке в зависимости от времени, то первая слагающая выражения (11-12) представит собой синусоидальную функцию с постоянной амплитудой.

Если же считать момент времени фиксированным и рассматривать изменение мгновенного напряжения вдоль линии (т.е. в зависимости от ), то получим затухающую синусоидальную волну напряжения, амплитуда которой убывает с ростом , т.е. по мере удаления от начала линии к концу.

Величина , характеризующая изменение амплитуды волны на единицу длины линии, называется коэффициентом затухания, а величина , равная изменению фазы на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы.

Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловливается потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

Оба эти коэффициента и входят в комплексный параметр , который, следовательно, характеризует распространение волны напряжения и тока по линии.

На рис. 11-3, а буквой обозначена длина волны напряжения, равная расстоянию между двумя точками линии, в которых фазы рассматриваемой слагающей напряжения различаются на . Следовательно,

,

откуда

(11-13)

.

Полученная формула выражает зависимость, существующую между длиной волны и коэффициентом фазы линии.

На рис. 11-3, а изображены волны напряжения, соответствующие двум следующим друг за другом моментам времени: и .

С течением времени волна перемещается от начала линии к ее концу; она носит название прямой, или падающей, волны.

Скорость перемещения падающей волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью волны, определяется как скорость перемещения точки,

 

a) б)

Рис. 11-3. Прямая (падающая) (а) и обратная (отраженная) (б) волны.

 

фаза колебания в которой остается постоянной. Это условие записывается для прямой волны в виде:

,

откуда

(11-14)

и, следовательно,

.

Аналогичное исследование второго слагаемого выражения (11-12) показывает, что для произвольного момента времени оно представляет синусоидальную волну, амплитуда которой возрастает с увеличение , т.е. по мере удаления от начала линии к ее концу. С течением времени волна перемещается от конца линии к ее началу (рис. 11-3, б); она называется обратной, или отраженной, волной.

Фазовая скорость обратной волны получается равной ; знак минус указывает, что обратная волна движется в направлении, противоположном направлению прямой волны.

Итак, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях, причем каждая из этих волн затухает в направлении движения.

На основании (11-13) и (11-14)

(11-15)

 

т. е. за время, равное одному периоду, как падающая, так и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.

Линии, физическая длина которых соизмерима с длиной волны, считаются длинными линиями. При достаточно высоких частотах практически любая протяженная электрическая цепь становится «длинной» по отношению к длине волны.

Как будет показано ниже, фазовая скорость в воздушной линии близка к скорости света ( м/сек), и поэтому частоте 50 гц будет соответствовать длина волны 6000 км, а частоте гц – длина волны 10 см. Следовательно, в первом случае длинной линией будет линия, измеряемая многими сотнями или тысячами километров, а во втором случае – цепь протяженностью в несколько сантиметров.

Возвращаясь к уравнениям (11-9) и (11-10) и записывая прямую и обратную волну в комплексной форме, имеем:

,

где

.