Взаимно-корреляционная функция

Для оценки степени связи во времени между двумя различными сигналами и используется взаимно-корреляционная функция ВКФ.

Найдем спектральную плотность ВКФ. Для этого рассмотрим сначала спектральную плотность произведения двух функций Каждой из функций сомножителей соответствуют спектральные плотности и Согласно теореме о спектральной плотности произведения двух функций,

С другой стороны, согласно общей формуле определения спектральной плотности

Положим в обеих формулах w = 0, получим:

Итак, согласно общему интегральному представлению спектра сигнала спектральная плотность для ВКФ равна произведению спектральной плотности одной функции на сопряженную спектральную плотность другой.

Автокорреляционная функция сигнала (АКФ)

АКФ - это степень связи сигнала s(t) с его копией, сдвинутой на величину t.

, при t = 0

Максимальное значение автокорреляционной функции (при t = 0) равно энергии сигнала, т. к. сигнал полностью коррелирован сам с собой. Полагая в преобразовании Фурье взаимнокорреляционной функции получим: ,

При t = 0 получим равенство Парсеваля .

Итак, в частотной области имеется две характеристики сигнала: спектральная плотность и спектральная плотность энергии.

Спектральной плотности , содержащей полную информацию о сигнале, соответствует в преобразовании Фурье сам сигнал s(t). Спектральной плотности энергии сигнала , лишенной фазовой информации, в преобразовании Фурье соответствует автокорреляционная функция сигнала .

Для периодических функций энергия бесконечна, поэтому автокорреляционная функция определяется путем усреднения по периоду:

- средняя мощность сигнала.

В более общем случае не обязательно периодического, но с бесконечной полной энергией сигнала принимают:

.

Фурье образом такой автокорреляционной функции будет спектральная плотность мощности W(w), что видно из соотношения . Формально

Однако практически спектральная плотность мощности определяется через функцию автокорреляции

Пример. Автокорреляционная функция прямоугольного импульса

при