Случайный процесс

Под случайным процессом понимают множество (ансамбль) случайных функций х_к(t), называемых возможными реализациями этого случайного процесса. В каждый выбранный момент времени t₁ конкретная реализация есть случайная величина с плотностью вероятности и ее среднее значение определяется усреднением по всем возможным реализациям:

Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. Для стационарных процессов плотность вероятности от времени не зависит: . Стационарный процесс называется эргодическим, если усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени в пределах одной реализации.

Кроме одномерной плотности вероятности вводят двумерную плотность вероятности совместной реализации двух значений: х₁ в момент времени t₁ и х₂ в момент времени t₂.

.

Для стационарных процессов двумерная плотность вероятности зависит только от разности моментов времени

Двумерная плотность вероятности определяет дополнительный момент - автокорреляционную функцию случайного процесса.

Иногда используют нормированные автокорреляционные функции:

Для стационарного процесса:

.

Если процесс не только стационарный, но и эргодический, усреднение по множеству может быть заменено усреднением по времени в пределах одной реализации:

Условие эргодичности для стационарного процесса с нулевым средним значением:

Это определяет стремление функции корреляции к нулю с увеличением временного сдвига t. Можно ввести интервал корреляции , который определяет время статистической зависимости между мгновенными значениями случайного сигнала.