Циркуляция и ротор векторного поля. Градиент скалярной функции

Циркуляция С_L произвольного векторного поля F (x,y,z) по замкнутому контуру L определяется следующим соотношением:

, (1.5.1)

где F_l – проекция вектора F на направление элемента контура d l (см. рис. 1.5.1).

Ротор – это еще одно понятие из математической теории векторных полей. В декартовой системе координат (x,y,z) ротор F (обозначение «rot F») определяется как вектор, компоненты которого равны определенным комбинациям пространственных производных вектора F, именно:

(1.5.2)

Физический смысл ротора следует из равенства, доказываемого в курсе математики:

. (1.5.3)

Здесь n – нормаль к площадке S, L – контур, ограничивающий эту площадки, который при этом предельном переходе стягивается в точку наблюдения . Если ротор векторного поля в некоторой точке наблюдения не равен нулю, то в любой достаточно малой окрестности этой точки силовые линии поля образуют микроскопические замкнутые контура вокруг нее («завихряются»). Поэтому область, где ротор векторного поля отличен от нуля, называют вихрем поля, а само поле, ротор которого отличен от нуля называется вихревым. Скорость движения потоков жидкости или газа, рассматриваемая как функция координат, является наглядным примером векторного поля. Турбулентности в жидкости или газе образуются именно вокруг точек, в которых отличен от нуля ротор скорости потока жидкости (газа). Изображение поля с помощью силовых линий в области пространства, где ротор отличен от нуля (точно так же, как и в точках с ненулевой дивергенцией), невозможно.

Как будет видно из дальнейшего, циркуляция и ротор электростатического поля, тождественно равны нулю во всем пространстве. Поэтому электростатическое поле – это относительно простое силовое поле. Такими же свойствами обладает и гравитационное поле.

Понятие градиента уже вводилось в курсе механики. Напомним его. Градиент функции f (x,y,z), зависящей от координат – это вектор, декартовы компоненты которого являются пространственными производными функции f:

. (1.5.5)

Пусть . Можно показать, что тогда необходимо и достаточно, чтобы ротор был равен нулю:

. (1.5.6)