Движущая сила процессов массопередачи

 

Как и в теплопередаче, движение потоков в процессах массообмена может происходить при противотоке, прямотоке и перекрестном токе фаз. Кроме того, возможны другие, весьма разнообразные виды взаимного направления движения фаз, связанные с перемешиванием и распределением потоков.

Независимо от взаимного направления движения фаз контактих можно осуществить непрерывно или ступенчато. Примером аппаратов, в которых контакт близок к непрерывному, являются насадочные колонны.

При ступенчатом контакте аппарат состоит из нескольких секций, соединенных между собой тем или иным способом, причем в каждой секции возможен любой из указанных выше видов взаимного направления движения фаз. К аппаратам со ступенчатым контактом относятся тарельчатые колонны.

От взаимного направления движения фаз и вида их контакта зависит величина движущей силы процессов массопередачи. Обычно концентрация фаз изменяются при их движении вдоль поверхности раздела. Соответственно изменяется и движущая сила. Поэтому в общее уравнение массопередачи входит величина средней движущей силы.

Средняя движущая сила процессов массопередачи. Выражение средней движущей силы зависит от того, является ли линия равновесия (при прочих равных условиях) кривой или прямой.

а б

Рис. 8. К определению средней движущей силы процесса массопередачи

 

Пусть процесс массопередачи протекает в противоточном колонном аппарате (рис. 8) при следующих условиях: 1) линия равновесия - у* = f(x); 2) расходы фаз постоянны (G = const) и (L = const), т. е. рабочая линия является прямой; 3) коэффициенты массопередачи не меняются по высоте аппарата (К_х = const. К_у = const), хотя, в действительности, при кривой линии равновесия значения К_х и К._у должны изменяться, но если это изменение не велико, то средние значения К_х и К._у можно считать практически постоянными.

Допустим, в соответствии с рис. 8, б, что у > у* и перенос происходит из фазы Ф_у в фазу Ф_х. Движущую силу будем выражать в концентрациях фазы Ф_у. Расход этой фазы составляет G, а ее концентрация изменяется от у_н (низ аппарата)до у_к (верх аппарата). В результате массопередачи на элементе поверхности dF концентрация фазы Ф_у уменьшится на dy и масса dM распределяемого вещества, которое перейдет в другую фазу, составит:

(1)

Знак минус перед правой частью уравнения (1) указывает на уменьшение концентрации в фазе Ф_у.

Та же масса dM вещества перейдет в фазу Ф_х, концентрация которой повысится на величину dx. Тогда для элемента поверхности dF, согласно уравнению (1) и уравнению массопередачи, можно записать

. (2)

Разделяя переменные у и F и интегрируя это выражение в пределах изменения концентраций для всего аппарата от у_н до у_к и поверхности контакта фаз соответственно от 0 до F, получим

,

откуда . (3)

По уравнению материального баланса масса распределяемого вещества, перешедшего из фазы в фазу, для всего аппарата составляет:

.

Подставим из последнего выражения значение G в уравнение (3):

.

Тогда . (4)

Сопоставив уравнение (4) с уравнением массопередачи, можно установить, что последний множитель правой части уравнения (4) представляет собой среднюю движущую силу процесса массопередачи:

. (5)

Аналогично выражается средняя движущая сила в концентрациях фазы Ф_х

. (6)

В частном случае, когда линия равновесия является прямой (у*= тх), средняя движущая сила определяется подобно тому, как она рассчитывается для теплообменных аппаратов, т. е. как средняя логарифмическая или средняя арифметическая величина из движущих сил массопередачи у концов аппарата.

Таким образом, средняя движущая сила массопередачи выражается уравнением:

. (7)

В уравнении (7) величина обозначает выраженную в общем виде движущую силу процесса массопередачи на том конце аппарата, где она больше, а величина – на другом конце аппарата, где она меньше.

Аналогично в концентрациях другой фазы (фазы Ф_х) имеем:

. (8)

В окончательном виде выражения (7) и (8) аналогичны выражению средней движущей силы в уравнении для процессов теплопередачи.

При с достаточной для технических расчетов точностью средняя движущая сила может быть рассчитана как среднеарифметическая:

. (9)

Соответственно найдем

. (10)

Средняя движущая сила и число единиц переноса. Интеграл в знаменателе уравнения (5) или (6) называется числом единиц переноса и обозначается через либо , если это число отнесено к концентрациям фазы Ф_у или Ф_х соответственно:

. (11)

. (12)

Из уравнений (11) и (12) видно, что между числом единиц переноса и средней движущей силой существует определенная зависимость:

, (13)

. (14)

Таким образом, число единиц переноса обратно пропорционально средней, движущей силе процесса массопередачи.

Согласно выражениям (13) и (14), число единиц переноса характеризует изменение рабочей концентрации фазы, приходящееся на единицу движущей силы. Вместе с тем из указанных выражений можно заключить, что одну единицу переноса можно рассматривать как участок аппарата, для которого изменение концентрации одной из фаз равно средней движущей силе на этом участке.

Выражения (11) и (12), строго говоря, применимы для процессов эквимолекулярного двустороннего переноса, например процессов ректификации, а также для процессов абсорбции, экстракции и других процессов массопередачи, в том.случае, когда рабочую линию можно считать практически прямой. Если рабочая линия является кривой, то выражения средней движущей силы и числа единиц переноса усложняются.

Общее число единиц переноса и можно выразить в функции от числа единиц переноса в фазах, между которыми происходит массопередача. Для этого вместо уравнений массопередачи следует воспользоваться уравнениями массоотдачи, заменив K_у и К_х коэффициентами массоотдачи и , а равновесные концентрации у* и х * - концентрациями на поверхности раздела фаз у_rp и х_гр.

Если, например, уравнение массопередачи представить в виде

, (15)

то уравнение массоотдачи запишется следующим образом:

, (16)

где G - расход фазы Ф_у; у - концентрация этой фазы.

После интегрирования уравнения (16) по всей поверхности массопереноса получим число единиц переноса в фазе Ф_у:

. (17)

Аналогично число единиц переноса для фазы Ф, составляет:

, (18)

где L - расход фазы Ф_х.

Разделяя переменные и интегрируя уравнение (15), можно с учетом выражения (13) найти зависимость между числом единиц переноса и коэффициентом массопередачи К_у

.

Отсюда, используя правило аддитивности фазовых сопротивлений, получим

.

Теперь вместо и подставим их значения из уравнений (17) (18), т. е. установим связь между , и :

.

Величина называется фактором процесса массопередачи (например, абсорбционным или экстракционным фактором). Обозначая ее для краткости записи через А, окончательно получим

. (19)

Аналогично по фазе Ф_х можно вывести зависимость

. (20)

Определение числа единиц переноса. Числа единиц переноса выражаются интегралами (см. выражения (11) и (12), которые не могут быть решены аналитически, так как вид функции у* = f(х) или х* = j(у) в каждом конкретном случае различен.

В связи с этим число единиц переноса и определяют методом графического интегрирования (рис. 9). Задаваясь рядом значений у, промежуточных между величинами у_н и у_к, строят кривую зависимости 1/(у - у*) от у. Измеряют площадь, ограниченную кривой, крайними ординатами, соответствующими у_к и у_н и осью абсцисс (площадь f, заштрихованная на рис. 9). После этого находят искомый интеграл с учетом масштабов М₁ и М₂, выражающих число единиц в 1 мм на оси ординат и оси абсцисс графика:

.

Аналогично, пользуясь графиком зависимости 1/(х* - х) от х, определяют значение n_ох.

Число единиц переноса может быть найдено более простым графическим методом, если равновесная линия на всех участках, соответствующих одной единице переноса, является прямой или имеет малую кривизну, а рабочая линия прямая. В этом случае на диаграмме (рис. Х-10) проводят линию О-О, делящую пополам отрезки ординат между рабочей и равновесной линиями. Каждый такой отрезок представляет собой движущую силу массопередачи в данной точке аппарата, равную у* — у. Затем из точки А (х_к, у_н) рабочей линии проводят горизонталь так, что АВ = ВС или АС = 2 АВ. Из точки С проводят вертикаль CD до пересечения с рабочей линией.

Таким построением получают «ступеньку» ACD, состоящую из двух отрезков, выражающих изменение рабочих концентраций фаз: горизонтальный отрезок АС (фазы Ф_х и вертикальный отрезок CD (фазы Ф_у). Вертикаль КЕ, проведенная пунктиром через точку В, изображает среднюю движущую силу на участке аппарата, в котором изменение рабочих концентраций фаз характеризуется отрезками АС и CD.

Из подобия треугольников ACD и ABE следует, что , но по построению и , откуда .

Таким образом, изменение рабочей концентрации (отрезок СD) на данном участке аппарата равно средней движущей силе на том же участке (отрезку КЕ) и, следовательно, «ступенька» изображает одну единицу переноса.

Строя аналогично «ступеньки» до пересечения с ординатой, отвечающей х_н, находят число единиц переноса.

Последняя «ступенька» может быть неполной и, значит, число единиц переноса— не целым. В этом случае величину доли полной «ступеньки», которую составляет последняя «ступенька», определяют по отношению отрезков MN и МР. Если рабочая линия расположена выше линии равновесия, то построение «ступенек» начинают с противоположного (нижнего) конца рабочей линии.

Применение графического метода дает достаточно точные результаты при условии, что отношение движущих сил на концах аппарата не превышает двух.

Высота единиц переноса (ВЕП)

 

Допустим, что массопередача происходит из фазы Ф_у в фазу Ф_х, и движущая сила выражается в концентрациях фазы Ф_у. Масса вещества М, переходящего из фазы в фазу, составит:

, (1)

где G - расход фазы Ф_у; у_н и у_к - начальная и конечная концентрации фазы Ф_у.

Вместе с тем величина М может быть определена по уравнению массопередачи, выраженному через объемный коэффициент массопередачи:

, (2)

где - объемный коэффициент массопередачи, принимаемый постоянным по высоте аппарата; S - площадь поперечного сечения аппарата; Н - рабочая высота аппарата.

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получим

откуда рабочая высота аппарата

. (3)

Первый множитель правой части того же уравнения, который мы обозначим через с учетом выражений и , может быть записан в виде

откуда, подставив значение поверхности контакта фаз F = aSH, получим

. (4)

Так как и – массовой скорости жидкости, то

(5)

Величина h_оу измеряется в единицах высоты:

и носит название высоты единицы переноса(ВЕП).

Аналогично ВЕП выражается в концентрациях фазы Ф_х:

Высота единицы переноса соответствует высоте аппарата, эквивалентной одной единице переноса. ВЕП обратно прямо пропорциональна объемному коэффициенту массопередачи. Следовательно, чем выше интенсивность массопередачи в аппарате, тем меньше в нем значение ВЕП.

Как следует выражения ВЕП, этими величинами можно пользоваться только при постоянстве поперечного сечения рабочей части аппарата.

Значения ВЕП часто находят экспериментально, (вместо определения коэффициентов массопередачи).

Коэффициенты массопередачи, отнесенные к единице межфазной поверхности (К), объемные коэффициенты массопередачи (К_V) и высоты единиц переноса (h) выражают лишь различную количественную меру интенсивности массопередачи и определенным образом связаны между собой.

По значениям K и средней движущей силы на основного уравнения массопередачи можно найти значение F. Однако этот способ расчета применим лишь тогда, когда поверхность F геометрически определима. В противном случае рабочий объем V быть рассчитан по К_V и средней движущей силе или по значению ВЕП и числу единиц переноса. Последние два способа расчета принципиально не отличаются друг от друга; каждый из них основан, по существу, на использовании модифицированного уравнения массопередачи с целью избежать введения в расчет неизвестного) значения удельной поверхности контакта фаз а ( м²/м³ ).